कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{9}{\sqrt{x}}$

चरण 1

$y = \frac{9}{\sqrt{x}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{9}{\sqrt{x}}$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2.2

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2.3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$9 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

चरण 2.3.2

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

चरण 2.3.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

चरण 2.3.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{1}{2}$ है.

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

चरण 2.5

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 2.6

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 2.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

चरण 2.8.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

चरण 2.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

चरण 2.10

$x^{- \frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

चरण 2.11

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

चरण 2.12

$- 9$ और $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

चरण 2.13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{3}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.13.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- \frac{9}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ है.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 3.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ को ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

चरण 3.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

चरण 3.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

चरण 3.2.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

चरण 3.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{3}{2}$ है.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

चरण 3.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 3.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 3.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

चरण 3.7.2

$- 3$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

चरण 3.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

चरण 3.9

$x^{- \frac{5}{2}}$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

चरण 3.10

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 1 (\frac{9}{2}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

चरण 3.10.2

$\frac{9}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

चरण 3.11

$\frac{9}{2}$ को $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{9 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

चरण 3.12

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{27 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

चरण 3.12.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{27 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

चरण 3.12.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{5}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{27}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

चरण 5

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 6

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 7