कैलकुलस उदाहरण

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

चरण 1

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 e^{- x}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.3.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.3.6

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.3.7

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.3.8

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.4.2

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

चरण 2.4.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

चरण 2.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [3 e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 e^{- x}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.2.2.2

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.2.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.2.4

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.2.6

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.2.7

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.2.8

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.3

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + 0$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- 3 e^{- x} + e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x}$

चरण 3.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

चरण 5

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.2

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.3.2.2

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.3.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.3.4

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.3.6

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.3.7

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.3.8

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

चरण 5.1.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} x$

चरण 5.1.4.2

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

चरण 5.1.4.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

चरण 5.1.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 3 e^{- x} + e^{x} - 4$

चरण 5.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ है.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

चरण 6

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

चरण 6.2

$e^{- x}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$3 {(e^{x})}^{- 1} + e^{x} - 4 = 0$

चरण 6.3

$u$ को $e^{x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$3 u^{- 1} + u - 4 = 0$

चरण 6.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 (\frac{1}{u}) + u - 4 = 0$

चरण 6.4.2

$3$ और $\frac{1}{u}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{u} + u - 4 = 0$

चरण 6.5

$\frac{3}{u}$ और $u$ को पुन: क्रमित करें.

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$

चरण 6.6

$u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$1, u, 1, 1$

चरण 6.6.1.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$u$

चरण 6.6.2

भिन्नों को हटाने के लिए $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ के प्रत्येक पद को $u$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.1

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ के प्रत्येक पद को $u$ से गुणा करें.

$u \cdot u + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

चरण 6.6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.2.1.1

$u$ को $u$ से गुणा करें.

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

चरण 6.6.2.2.1.2

$u$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

चरण 6.6.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u^{2} + 3 - 4 u = 0 u$

चरण 6.6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.3.1

$0$ को $u$ से गुणा करें.

$u^{2} + 3 - 4 u = 0$

चरण 6.6.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.3.1

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} + 3 - 4 u$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $3$ है और जिसका योग $- 4$ है.

$- 3, - 1$

चरण 6.6.3.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

चरण 6.6.3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

चरण 6.6.3.3

$u - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.3.3.1

$u - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 3 = 0$

चरण 6.6.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$u = 3$

चरण 6.6.3.4

$u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.3.4.1

$u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 1 = 0$

चरण 6.6.3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$u = 1$

चरण 6.6.3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(u - 3) (u - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = 3, 1$

चरण 6.7

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $3$ को प्रतिस्थापित करें.

$3 = e^{x}$

चरण 6.8

$3 = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

समीकरण को $e^{x} = 3$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = 3$

चरण 6.8.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

चरण 6.8.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.3.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (3)$

चरण 6.8.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (3)$

चरण 6.8.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (3)$

चरण 6.9

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $1$ को प्रतिस्थापित करें.

$1 = e^{x}$

चरण 6.10

$1 = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.10.1

समीकरण को $e^{x} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = 1$

चरण 6.10.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

चरण 6.10.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.10.3.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (1)$

चरण 6.10.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (1)$

चरण 6.10.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (1)$

चरण 6.10.4

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$x = 0$

चरण 6.11

उन हलों की सूची बनाइए जो समीकरण को सत्य बनाते हैं.

$x = \ln (3), 0$

चरण 7

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 8

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = \ln (3), 0$

चरण 9

$x = \ln (3)$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))}$

चरण 10

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$3 - 3 e^{- (\ln (3))}$

चरण 10.1.2

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- (\ln (3))$ को सरल करें.

$3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})}$

चरण 10.1.3

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$3 - 3 \cdot 3^{- 1}$

चरण 10.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 - 3 \cdot \frac{1}{3}$

चरण 10.1.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.5.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3}$

चरण 10.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3}$

चरण 10.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 - 1$

चरण 10.2

$3$ में से $1$ घटाएं.

$2$

चरण 11

$x = \ln (3)$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \ln (3)$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 12

$x = \ln (3)$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

व्यंजक में चर $x$ को $\ln (3)$ से बदलें.

$f (\ln (3)) = e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

चरण 12.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

चरण 12.2.1.2

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- (\ln (3))$ को सरल करें.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})} - 4 \ln (3)$

चरण 12.2.1.3

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot 3^{- 1} - 4 \ln (3)$

चरण 12.2.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

चरण 12.2.1.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.5.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\ln (3)) = 3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

चरण 12.2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\ln (3)) = 3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

चरण 12.2.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - 4 \ln (3)$

चरण 12.2.1.6

$4$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 4 \ln (3)$ को सरल करें.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (3^{4})$

चरण 12.2.1.7

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (81)$

चरण 12.2.2

$3$ में से $1$ घटाएं.

$f (\ln (3)) = 2 - \ln (81)$

चरण 12.2.3

अंतिम उत्तर $2 - \ln (81)$ है.

$y = 2 - \ln (81)$

चरण 13

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$e^{0} - 3 e^{- (0)}$

चरण 14

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1 - 3 e^{- (0)}$

चरण 14.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$1 - 3 e^{0}$

चरण 14.1.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1 - 3 \cdot 1$

चरण 14.1.4

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 3$

चरण 14.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$- 2$

चरण 15

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 16

$x = 0$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = e^{0} - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

चरण 16.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f (0) = 1 - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

चरण 16.2.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 1 - 3 e^{0} - 4 \cdot 0$

चरण 16.2.1.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$f (0) = 1 - 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0$

चरण 16.2.1.4

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (0) = 1 - 3 - 4 \cdot 0$

चरण 16.2.1.5

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 1 - 3 + 0$

चरण 16.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.2.1

$1$ में से $3$ घटाएं.

$f (0) = - 2 + 0$

चरण 16.2.2.2

$- 2$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = - 2$

चरण 16.2.3

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$y = - 2$

चरण 17

ये $f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\ln (3), 2 - \ln (81))$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(0, - 2)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 18