कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x}{1 + x}$

चरण 1

$y = \frac{x}{1 + x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{x}{1 + x}$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = 1 + x$ है.

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2.2

$1 + x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2.6

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2.7

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2.7.2

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2.7.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.3.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

चरण 2.2.7.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ को ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

चरण 3.1.2

घातांक को ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

चरण 3.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.3.2

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

चरण 3.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

चरण 3.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

चरण 3.3.4.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

चरण 3.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

चरण 5

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 6

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 7