कैलकुलस उदाहरण

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

चरण 1

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ है.

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{π}{12} (x - 2)$ के रूप में सेट करें.

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

चरण 2.2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

चरण 2.2.3

चूंकि $\frac{π}{12}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{π}{12} (x - 2)$ का व्युत्पन्न $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ है.

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

चरण 2.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

चरण 2.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

चरण 2.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

चरण 2.2.7

$1$ और $0$ जोड़ें.

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

चरण 2.2.8

$\frac{π}{12}$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

चरण 2.2.9

$\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ और $\frac{π}{12}$ को मिलाएं.

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

चरण 2.2.10

$5$ और $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

चरण 2.3.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$\frac{π}{12}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

चरण 2.3.2.2

$- 2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

चरण 2.3.2.3

$- 2$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.3.1

$- 2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

चरण 2.3.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.3.2.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

चरण 2.3.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

चरण 2.3.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

चरण 2.3.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

चरण 2.3.2.5

$\frac{π}{12}$ और $x$ को मिलाएं.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

चरण 2.3.2.6

$0$ और $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ जोड़ें.

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $\frac{5 π}{12}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ का व्युत्पन्न $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ है.

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

चरण 3.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\frac{5 π}{12}$ और $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ है.

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

चरण 3.3.3

चूंकि $\frac{π}{12}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{π x}{12}$ का व्युत्पन्न $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

चरण 3.3.4

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

चरण 3.3.5

$\frac{π}{12}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

चरण 3.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{π}{6}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{π}{6}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

चरण 3.3.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.7.1

$\frac{π}{12}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

चरण 3.3.7.2

$\frac{π}{12}$ को $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

चरण 3.4

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

चरण 3.5

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

चरण 3.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

चरण 3.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

चरण 3.8

$12$ को $12$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

चरण 5

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

चरण 6

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ के प्रत्येक पद को $5 π$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ के प्रत्येक पद को $5 π$ से विभाजित करें.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

चरण 6.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

चरण 6.1.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

चरण 6.1.2.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

चरण 6.1.2.2.2

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

चरण 6.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

$0$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1.1

$0$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

चरण 6.1.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1.2.1

$5 π$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

चरण 6.1.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

चरण 6.1.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

चरण 6.1.3.2

$0$ को $π$ से विभाजित करें.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

चरण 6.2

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

चरण 6.4

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{6}$ जोड़ें.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

चरण 6.4.2

$\frac{π}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

चरण 6.4.3

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

चरण 6.4.3.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

चरण 6.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

चरण 6.4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.5.1

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

चरण 6.4.5.2

$3 π$ और $π$ जोड़ें.

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

चरण 6.4.6

$4$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.6.1

$4 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

चरण 6.4.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.6.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

चरण 6.4.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

चरण 6.4.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

चरण 6.5

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{12}{π}$ से गुणा करें.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

चरण 6.6

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1.1

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1.1.1

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

चरण 6.6.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

चरण 6.6.1.1.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1.1.2.1

$π x$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

चरण 6.6.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

चरण 6.6.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

चरण 6.6.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.1

$\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.1.1.1

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

चरण 6.6.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

चरण 6.6.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

चरण 6.6.2.1.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.1.2.1

$2 π$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

चरण 6.6.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

चरण 6.6.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 4 \cdot 2$

चरण 6.6.2.1.3

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = 8$

चरण 6.7

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 6.8

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 6.8.1.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 6.8.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 6.8.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 6.8.1.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

चरण 6.8.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{6}$ जोड़ें.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

चरण 6.8.2.2

$\frac{3 π}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

चरण 6.8.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.3.1

$\frac{3 π}{2}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

चरण 6.8.2.3.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

चरण 6.8.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

चरण 6.8.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.5.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

चरण 6.8.2.5.2

$9 π$ और $π$ जोड़ें.

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

चरण 6.8.2.6

$10$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.6.1

$10 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

चरण 6.8.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.6.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

चरण 6.8.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

चरण 6.8.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

चरण 6.8.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{12}{π}$ से गुणा करें.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

चरण 6.8.4

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.1.1

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.1.1.1

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

चरण 6.8.4.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

चरण 6.8.4.1.1.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.1.1.2.1

$π x$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

चरण 6.8.4.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

चरण 6.8.4.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

चरण 6.8.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.2.1

$\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.2.1.1.1

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

चरण 6.8.4.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

चरण 6.8.4.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

चरण 6.8.4.2.1.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.4.2.1.2.1

$5 π$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

चरण 6.8.4.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

चरण 6.8.4.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 4 \cdot 5$

चरण 6.8.4.2.1.3

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$x = 20$

चरण 6.9

समीकरण का हल $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = 8, 20$

चरण 7

$x = 8$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 8

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$8$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$π (8)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 8.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 8.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 8.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 8.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 8.2.2

$\frac{2 π}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 8.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$\frac{2 π}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 8.2.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 8.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

चरण 8.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.5.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

चरण 8.2.5.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

चरण 8.2.6

$3$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.6.1

$3 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

चरण 8.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.6.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

चरण 8.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

चरण 8.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

चरण 8.2.7

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

चरण 8.2.8

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

चरण 9

$x = 8$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 8$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 10

$x = 8$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

व्यंजक में चर $x$ को $8$ से बदलें.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

चरण 10.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

$8$ में से $2$ घटाएं.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

चरण 10.2.1.2

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.2.1

$12$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

चरण 10.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

चरण 10.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

चरण 10.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

चरण 10.2.1.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$f (8) = - 2 + 5$

चरण 10.2.2

$- 2$ और $5$ जोड़ें.

$f (8) = 3$

चरण 10.2.3

अंतिम उत्तर $3$ है.

$y = 3$

चरण 11

$x = 20$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 12

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$20$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$π (20)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 12.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 12.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 12.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 12.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$5$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 12.2.2

$\frac{5 π}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 12.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1

$\frac{5 π}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 12.2.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

चरण 12.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

चरण 12.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.5.1

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

चरण 12.2.5.2

$10 π$ में से $π$ घटाएं.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

चरण 12.2.6

$9$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.6.1

$9 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

चरण 12.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.6.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

चरण 12.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

चरण 12.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

चरण 12.2.7

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

चरण 12.2.8

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

चरण 12.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

चरण 12.2.10

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

चरण 12.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

चरण 12.4

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

चरण 12.4.2

$\frac{5 π^{2}}{144}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{5 π^{2}}{144}$

चरण 13

$x = 20$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 20$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 14

$x = 20$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

व्यंजक में चर $x$ को $20$ से बदलें.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

चरण 14.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.1

$20$ में से $2$ घटाएं.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

चरण 14.2.1.2

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.2.1

$12$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

चरण 14.2.1.2.2

$18$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

चरण 14.2.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

चरण 14.2.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

चरण 14.2.1.3

$\frac{π}{2}$ और $3$ को मिलाएं.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

चरण 14.2.1.4

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

चरण 14.2.1.5

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 14.2.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

चरण 14.2.1.7

$5 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.7.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

चरण 14.2.1.7.2

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (20) = - 2 - 5$

चरण 14.2.2

$- 2$ में से $5$ घटाएं.

$f (20) = - 7$

चरण 14.2.3

अंतिम उत्तर $- 7$ है.

$y = - 7$

चरण 15

ये $f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(8, 3)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(20, - 7)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 16