कैलकुलस उदाहरण

$y = \cot (12 π x - 3 x)$

चरण 1

$y = \cot (12 π x - 3 x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cot (x)$ और $g (x) = 12 π x - 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $12 π x - 3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

चरण 2.1.2

$u$ के संबंध में $\cot (u)$ का व्युत्पन्न $- \csc^{2} (u)$ है.

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $12 π x - 3 x$ से बदलें.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $12 π x - 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ है.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 2.2.2

चूंकि $12 π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 π x$ का व्युत्पन्न $12 π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 2.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 2.2.4

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

चरण 2.2.5

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.6

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

चरण 2.2.7

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- (12 π - 3)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ का व्युत्पन्न $- (12 π - 3) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (12 π x - 3 x)]$ है.

$f'' (x) = - (12 π - 3) \frac{d}{d x} \csc^{2} (12 π x - 3 x)$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \csc (12 π x - 3 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\csc (12 π x - 3 x)$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - (12 π - 3) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\csc (12 π x - 3 x)$ से बदलें.

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 \csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

चरण 3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \csc (x)$ और $g (x) = 12 π x - 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $12 π x - 3 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d u (2)} (\csc (u_{2})) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

चरण 3.4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\csc (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ है.

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $12 π x - 3 x$ से बदलें.

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

चरण 3.5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

चरण 3.6

$\csc (12 π x - 3 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

चरण 3.7

$\csc (12 π x - 3 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

चरण 3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) {\csc (12 π x - 3 x)}^{1 + 1} (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

चरण 3.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

चरण 3.10

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $12 π x - 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ है.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} (12 π x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

चरण 3.11

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

चरण 3.12

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

चरण 3.13

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

चरण 3.14

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} x)$

चरण 3.15

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

चरण 3.16

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

चरण 3.17

$12 π - 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

चरण 3.18

$12 π - 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

चरण 3.19

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{1 + 1} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

चरण 3.20

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

चरण 3.21

$2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (12 π x - 3 x) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π x - 3 x)$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$

चरण 5

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 12 π + 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 12 π + 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$12 π - 3$ और $- 12 π + 3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1

$- 12 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.1.2.2

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3 (1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.1.2.3

$3 (- 4 π) + 3 (1)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.1.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.1.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.2

$4 π - 1$ और $- 4 π + 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$4 π$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.2.2

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1 (1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.2.3

$- (- 4 π) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.2.4

$- (- 4 π + 1)$ को $- 1 (- 4 π + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.2.5

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.2.6

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1 = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.3

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.2.3.2

$\csc^{2} (12 π x - 3 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$0$ और $- 12 π + 3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{- 12 π + 3}$

चरण 5.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

$- 12 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π) + 3}$

चरण 5.3.1.2.2

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π) + 3 \cdot 1}$

चरण 5.3.1.2.3

$3 (- 4 π) + 3 (1)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π + 1)}$

चरण 5.3.1.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π + 1)}$

चरण 5.3.1.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 4 π + 1}$

चरण 5.3.2

$0$ को $- 4 π + 1$ से विभाजित करें.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = 0$

चरण 6

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0}$

चरण 7

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 7.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm 0$

चरण 7.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$\csc (12 π x - 3 x) = 0$

चरण 8

व्युत्क्रमज्या की सीमा $y \leq - 1$ और $y \geq 1$ है. चूंकि $0$ इस श्रेणी में नहीं आता है, इसलिए कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 9

$x =$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$2 \csc^{2} (12 π - 3) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

चरण 10

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\csc (12 π - 3)$ का मान ज्ञात करें.

$2 {(- 7.08616739)}^{2} {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

चरण 10.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$- 7.08616739$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 50.21376836 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

चरण 10.2.2

$2$ को $50.21376836$ से गुणा करें.

$100.42753672 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

चरण 10.2.3

${(12 π - 3)}^{2}$ को $(12 π - 3) (12 π - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$100.42753672 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(12 π - 3) (12 π - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$100.42753672 (12 π (12 π - 3) - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1.1

$12 π (12 π)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1.1.1

$12$ को $12$ से गुणा करें.

$100.42753672 (144 π π + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.4.1.1.2

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$100.42753672 (144 (π^{1} π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.4.1.1.3

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$100.42753672 (144 (π^{1} π^{1}) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.4.1.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$100.42753672 (144 π^{1 + 1} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.4.1.1.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$100.42753672 (144 π^{2} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.4.1.2

$- 3$ को $12$ से गुणा करें.

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.4.1.3

$12$ को $- 3$ से गुणा करें.

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.4.1.4

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π + 9) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.4.2

$- 36 π$ में से $36 π$ घटाएं.

$100.42753672 (144 π^{2} - 72 π + 9) \cot (12 π - 3)$

चरण 10.5

$100.42753672$ को $144 π^{2} - 72 π + 9$ से गुणा करें.

$120917.6026078 \cot (12 π - 3)$

चरण 10.6

$\cot (12 π - 3)$ का मान ज्ञात करें.

$120917.6026078 \cdot 7.01525255$

चरण 10.7

$120917.6026078$ को $7.01525255$ से गुणा करें.

$848267.52020773$

चरण 11

$x =$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x =$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 12

ये $f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 13