कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

$\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

समीकरण के दोनों पक्षों से $64$ घटाएं.

$x^{3} = - 64$

समीकरण के दोनों पक्षों में $64$ जोड़ें.

$x^{3} + 64 = 0$

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$64$ को $4^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} + 4^{3} = 0$

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

$x^{2} - 4 x + 16$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$x^{2} - 4 x + 16$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

$x$ के लिए $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 4$ और $c = 16$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

$16$ में से $64$ घटाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

$- 48$ को $- 1 (48)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (48)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$48$ को $4^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$48$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

$16$ में से $64$ घटाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

$- 48$ को $- 1 (48)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (48)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$48$ को $4^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$48$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

$16$ में से $64$ घटाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

$- 48$ को $- 1 (48)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (48)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$48$ को $4^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

$48$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq - 4}$

Step 4

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${y | y \in ℝ}$

Step 5

डोमेन और परिसर निर्धारित करें.

डोमेन: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

परिसर: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6