कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{2 x}$ और $g (x) = \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$ है.

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x^{2} - 3)] + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \cos (2 x^{2} - 3)$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\cos (2 x^{2} - 3)$ के रूप में सेट करें.

$e^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 3)]) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$e^{2 x} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 3)]) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\cos (2 x^{2} - 3)$ से बदलें.

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 3)]) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x^{2} - 3$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x^{2} - 3$ के रूप में सेट करें.

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x^{2} - 3$ से बदलें.

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (- \sin (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (\sin (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{2} - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 4.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 4.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 4.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (4 x + 0)) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 4.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.7.1

$4 x$ और $0$ जोड़ें.

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (4 x)) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 4.7.2

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 5.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ $a^{u_{3}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 5.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 6

अवकलन करें.

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चरण 6.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

चरण 6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} \cdot 2)$

चरण 6.3.2

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (2 \cdot e^{2 x})$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 12 e^{2 x} x \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) + 2 e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$

चरण 7.2

गुणनखंडों को $- 12 e^{2 x} x \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) + 2 e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$ में पुन: क्रमित करें.

$- 12 x e^{2 x} \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) + 2 e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$