कैलकुलस उदाहरण

$x = \frac{2 e^{8 t}}{4 t + 5}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{2 e^{8 t}}{4 t + 5})$

चरण 2

$t$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $x'$ है.

$x'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{2 e^{8 t}}{4 t + 5}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [\frac{e^{8 t}}{4 t + 5}]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [\frac{e^{8 t}}{4 t + 5}]$

चरण 3.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = e^{8 t}$ और $g (t) = 4 t + 5$ है.

$2 \frac{(4 t + 5) \frac{d}{d t} [e^{8 t}] - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 8 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $8 t$ के रूप में सेट करें.

$2 \frac{(4 t + 5) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [8 t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$2 \frac{(4 t + 5) (e^{u} \frac{d}{d t} [8 t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $8 t$ से बदलें.

$2 \frac{(4 t + 5) (e^{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $8$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $8 t$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{(4 t + 5) e^{8 t} (8 \frac{d}{d t} [t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \frac{(4 t + 5) e^{8 t} (8 \cdot 1) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{(4 t + 5) e^{8 t} \cdot 8 - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.3.2

$8$ को $(4 t + 5) e^{8 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \frac{8 \cdot ((4 t + 5) e^{8 t}) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.4

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $4 t + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [5]$ है.

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.5

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.6

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.7

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.8

चूंकि $t$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 + 0)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.9

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.9.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} \cdot 4}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.9.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.4.9.3

$2$ और $\frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (8 (4 t + 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 ((8 (4 t) + 8 \cdot 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (8 (4 t) e^{8 t} + 8 \cdot 5 e^{8 t} - 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (8 (4 t) e^{8 t}) + 2 (8 \cdot 5 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.1

$4$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{2 (32 t e^{8 t}) + 2 (8 \cdot 5 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.4.1.2

$32$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{64 (t e^{8 t}) + 2 (8 \cdot 5 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.4.1.3

$8$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{64 t e^{8 t} + 2 (40 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.4.1.4

$40$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{64 t e^{8 t} + 80 e^{8 t} + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.4.1.5

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{64 t e^{8 t} + 80 e^{8 t} - 8 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.4.2

$80 e^{8 t}$ में से $8 e^{8 t}$ घटाएं.

$\frac{64 t e^{8 t} + 72 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{64 e^{8 t} t + 72 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.6

$64 e^{8 t} t + 72 e^{8 t}$ में से $8 e^{8 t}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1

$64 e^{8 t} t$ में से $8 e^{8 t}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 e^{8 t} (8 t) + 72 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.6.2

$72 e^{8 t}$ में से $8 e^{8 t}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 e^{8 t} (8 t) + 8 e^{8 t} (9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 3.5.6.3

$8 e^{8 t} (8 t) + 8 e^{8 t} (9)$ में से $8 e^{8 t}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 e^{8 t} (8 t + 9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$x' = \frac{8 e^{8 t} (8 t + 9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

चरण 5

$x'$ को $\frac{d x}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d x}{d t} = \frac{8 e^{8 t} (8 t + 9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$