कैलकुलस उदाहरण

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $p (x)$ , $[0, 10]$ पर सतत है या नहीं, $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ परिभाषित है, तर्क को $\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ से बड़ा $0$ में सेट करें.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$- x^{2}$ और $3 x^{2}$ जोड़ें.

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

चरण 1.2.2

असमानता को समीकरण में बदलें.

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

चरण 1.2.3

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 1.2.4

द्विघात सूत्र में $a = 2$ , $b = 72$ और $c = 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1.1

$72$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1.2.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.5.1.2.2

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.5.1.3

$5184$ में से $8$ घटाएं.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.5.1.4

$5176$ को $2^{2} \cdot 1294$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1.4.1

$5176$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.5.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

चरण 1.2.5.3

$\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ को सरल करें.

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.6

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1.1

$72$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1.2.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.6.1.2.2

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.6.1.3

$5184$ में से $8$ घटाएं.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.6.1.4

$5176$ को $2^{2} \cdot 1294$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1.4.1

$5176$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.6.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.6.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

चरण 1.2.6.3

$\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ को सरल करें.

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.6.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.6.5

$- 36$ को $- 1 (36)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.6.6

$\sqrt{1294}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

चरण 1.2.6.7

$- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

चरण 1.2.6.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.7

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.1

$72$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.7.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.2.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.7.1.2.2

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.7.1.3

$5184$ में से $8$ घटाएं.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.7.1.4

$5176$ को $2^{2} \cdot 1294$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.4.1

$5176$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.7.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.7.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

चरण 1.2.7.3

$\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ को सरल करें.

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.7.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.7.5

$- 36$ को $- 1 (36)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.7.6

$- \sqrt{1294}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

चरण 1.2.7.7

$- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

चरण 1.2.7.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.8

हल समेकित करें.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.9

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.2.10

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.1

अंतराल $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.1.1

अंतराल $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 38$

चरण 1.2.10.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 38$ से बदलें.

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

चरण 1.2.10.1.3

बाईं ओर $153$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 1.2.10.2

अंतराल $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.2.1

अंतराल $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 3$

चरण 1.2.10.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 3$ से बदलें.

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

चरण 1.2.10.2.3

बाईं ओर $- 197$ दाईं ओर $0$ से बड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 1.2.10.3

अंतराल $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.3.1

अंतराल $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 1.2.10.3.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

चरण 1.2.10.3.3

बाईं ओर $1$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 1.2.10.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ सही

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ गलत

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ सही

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ सही

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ गलत

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ सही

चरण 1.2.11

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ या $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

चरण 1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

चरण 2

$p (x)$ $[0, 10]$ पर निरंतर है.

$p (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $p$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

चरण 5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

चरण 5.2

$10$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

चरण 6

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- x^{2}$ और $3 x^{2}$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

चरण 6.2

$\frac{1}{10}$ और $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

चरण 7