कैलकुलस उदाहरण

$g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ , $[0, 2]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $g (x)$ , $[0, 2]$ पर सतत है या नहीं, $g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

रेडिकैंड को $\sqrt{1 + x^{3}}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$1 + x^{3} \geq 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

असमानता के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x^{3} \geq - 1$

चरण 1.2.2

असमानता के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x^{3} + 1 \geq 0$

चरण 1.2.3

असमानता को समीकरण में बदलें.

$x^{3} + 1 = 0$

चरण 1.2.4

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} + 1^{3} = 0$

चरण 1.2.4.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

चरण 1.2.4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

चरण 1.2.4.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

चरण 1.2.5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

चरण 1.2.6

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 1.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 1.2.7

$x^{2} - x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

$x^{2} - x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - x + 1 = 0$

चरण 1.2.7.2

$x$ के लिए $x^{2} - x + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 1.2.7.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 1$ और $c = 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.3.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.3.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.3.1.3

$1$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.3.1.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.7.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.4.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.4.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.4.1.3

$1$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.4.1.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.7.2.4.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.7.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.5.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.5.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.5.1.3

$1$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.5.1.4

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.2.7.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.7.2.5.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.7.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

चरण 1.2.9

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x \geq - 1$

चरण 1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- 1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq - 1}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- 1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq - 1}$

चरण 2

$g (x)$ $[0, 2]$ पर निरंतर है.

$g (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $g$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x)$

चरण 5

मान लीजिए $u = 1 + x^{3}$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 1 + x^{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$1 + x^{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 5.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 5.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$0 + 3 x^{2}$

चरण 5.1.5

$0$ और $3 x^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = 1 + x^{3}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 5.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = 1 + x^{3}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

चरण 5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 1 + 8$

चरण 5.5.2

$1$ और $8$ जोड़ें.

$u_{upper} = 9$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \sqrt{u} (\frac{1}{3}) d u)$

चरण 6

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u)$

चरण 8

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$9$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.4

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.5

$\frac{2}{3}$ और $27$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.6

$2$ को $27$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.7

$54$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.7.1

$54$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.7.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.7.2.4

$18$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

चरण 10.2.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1))$

चरण 10.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3}))$

चरण 10.2.10

$18$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}))$

चरण 10.2.11

$18$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}))$

चरण 10.2.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3})$

चरण 10.2.13

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.13.1

$18$ को $3$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3})$

चरण 10.2.13.2

$54$ में से $2$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3})$

चरण 10.2.14

$\frac{1}{3}$ को $\frac{52}{3}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{3 \cdot 3})$

चरण 10.2.15

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{9})$

चरण 11

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{52}{9}$

चरण 11.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{9}$

चरण 12

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$52$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (26)}{9}$

चरण 12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 26}{9}$

चरण 12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{26}{9}$

चरण 13