कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[4, 9]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = 6 \sqrt{x}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

रेडिकैंड को $\sqrt{x}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x \geq 0$

चरण 1.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 0}$

चरण 2

$f (x)$ $[4, 9]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

चरण 5

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

चरण 6

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ है.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

चरण 8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{2}{3}$ और $x^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

चरण 8.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$9$ पर और $4$ पर $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.4

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.5

$2$ को $27$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.6

$54$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.6.1

$54$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.6.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.6.2.4

$18$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.7

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

चरण 8.2.2.8

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

चरण 8.2.2.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

चरण 8.2.2.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

चरण 8.2.2.10

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

चरण 8.2.2.11

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

चरण 8.2.2.12

$18$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

चरण 8.2.2.13

$18$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

चरण 8.2.2.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

चरण 8.2.2.15

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.15.1

$18$ को $3$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

चरण 8.2.2.15.2

$54$ में से $16$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

चरण 8.2.2.16

$6$ और $\frac{38}{3}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

चरण 8.2.2.17

$6$ को $38$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

चरण 8.2.2.18

$228$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.18.1

$228$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

चरण 8.2.2.18.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.18.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

चरण 8.2.2.18.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

चरण 8.2.2.18.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

चरण 8.2.2.18.2.4

$76$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

चरण 9

$9$ में से $4$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

चरण 10

$\frac{1}{5}$ और $76$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{76}{5}$

चरण 11