कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[0, 2 π]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = 5 \csc (x)$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\csc (x)$ में $π n$ के बराबर सेट करें.

$x = π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq π n}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq π n}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2

$f (x)$ $[0, 2 π]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

चरण 5

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\csc (x)$ का इंटीग्रल $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 π$ पर और $0$ पर $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

चरण 7.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

चरण 7.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (2 π)$ को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

चरण 7.3.2.2

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

चरण 7.3.2.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

चरण 7.3.2.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

चरण 7.3.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (0)$ को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

चरण 7.3.3.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

चरण 7.3.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

चरण 7.3.4

$| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

चरण 7.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

चरण 7.3.5

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

चरण 7.3.6

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

चरण 8

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

चरण 8.2

$2 π$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

चरण 9

$\frac{1}{2 π}$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = 0$

चरण 10