कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x^{2} - x$ , $[- 1, 4]$

चरण 1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2

$f (x)$ $[- 1, 4]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 3 x^{2} - x d x)$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

चरण 6

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 \int_{- 1}^{4} x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

चरण 8

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - x d x)$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - \int_{- 1}^{4} x d x)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}))$

चरण 11

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}))$

चरण 11.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$4$ पर और $- 1$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}))$

चरण 11.2.2

$4$ पर और $- 1$ पर $\frac{x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.1

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.5

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{64 + 1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.7

$64$ और $1$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (3 (\frac{65}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.8

$3$ और $\frac{65}{3}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.9

$3$ को $65$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{195}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.10

$195$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.10.1

$195$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.10.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3 (1)} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{3 \cdot 65}{3 \cdot 1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65}{1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.10.2.4

$65$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.11

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.12

$16$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.12.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.12.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.12.2.4

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

चरण 11.2.3.13

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 - \frac{1}{2}))$

चरण 11.2.3.14

$8$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

चरण 11.2.3.15

$8$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

चरण 11.2.3.16

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{8 \cdot 2 - 1}{2})$

चरण 11.2.3.17

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.17.1

$8$ को $2$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{16 - 1}{2})$

चरण 11.2.3.17.2

$16$ में से $1$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 - \frac{15}{2})$

चरण 11.2.3.18

$65$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (65 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2})$

चरण 11.2.3.19

$65$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2})$

चरण 11.2.3.20

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{65 \cdot 2 - 15}{2})$

चरण 11.2.3.21

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.21.1

$65$ को $2$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{130 - 15}{2})$

चरण 11.2.3.21.2

$130$ में से $15$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{115}{2})$

चरण 12

$4$ और $1$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{115}{2}$

चरण 13

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$115$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (23)}{2}$

चरण 13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 23}{2}$

चरण 13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{23}{2}$

चरण 14