कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

चरण 1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2

$f (x)$ $[0, 5]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

चरण 7

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

चरण 8

मान लीजिए $u = - 0.04 x$ .फिर $d u = - 0.04 d x$ , तो $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = - 0.04 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$- 0.04 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

चरण 8.1.2

चूंकि $- 0.04$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 0.04 x$ का व्युत्पन्न $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 0.04 \cdot 1$

चरण 8.1.4

$- 0.04$ को $1$ से गुणा करें.

$- 0.04$

चरण 8.2

$x$ के लिए $u = - 0.04 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

चरण 8.3

$- 0.04$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 8.4

$x$ के लिए $u = - 0.04 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

चरण 8.5

$- 0.04$ को $5$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 0.2$

चरण 8.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

चरण 8.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

चरण 9.2

${2.71828182}^{u}$ और $\frac{1}{0.04}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

चरण 11

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{0.04}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{0.04}$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{0.04}$ और $- 8$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

चरण 13.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

चरण 14

$u$ के संबंध में ${2.71828182}^{u}$ का इंटीग्रल $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ है.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ और $\frac{8}{0.04}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

चरण 15.2

$8$ को $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

चरण 16

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$5$ पर और $0$ पर $29 x$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

चरण 16.2

$- 0.2$ पर और $0$ पर $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 16.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

$29$ को $5$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 16.3.2

$- 29$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 16.3.3

$145$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 16.3.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 16.3.5

$2.71828182$ को $0.2$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 16.3.6

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 16.3.7

$\frac{1}{1.22140275}$ को $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 16.3.8

$1.22140275$ को $\ln (2.71828182)$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 16.3.9

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.1.1

$1$ को $1.22140275$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 17.1.1.2

$0.81873075$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 17.1.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 17.1.1.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.1.4.1

$0.81873075$ को $\ln (2.71828182)$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 17.1.1.4.2

$0.81873075$ में से $1$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 17.1.1.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 17.1.1.6

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

चरण 17.1.1.7

$2.71828182$ का लघुगणक बेस $2.71828182$ लगभग $0.99999999$ है.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

चरण 17.1.1.8

$0.18126924$ को $0.99999999$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

चरण 17.1.1.9

$- 1$ को $0.18126924$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

चरण 17.1.2

$8$ को $- 0.18126924$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

चरण 17.1.3

$- 1.45015397$ को $0.04$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

चरण 17.1.4

$- 1$ को $- 36.25384939$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

चरण 17.2

$145$ और $36.25384939$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

चरण 18

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

चरण 18.2

$5$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

चरण 19

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

$\frac{1}{5}$ और $181.25384939$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

चरण 19.2

$181.25384939$ को $5$ से विभाजित करें.

$A (x) = 36.25076987$

चरण 20