कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[2, 4]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{8}{x^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 1.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 1.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 1.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

चरण 2

$f (x)$ $[2, 4]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{8}{x^{2}} d x)$

चरण 5

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x)$

चरण 6

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

चरण 6.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x)$

चरण 6.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{- 2} d x)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- x^{- 1}]_{2}^{4}))$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$4$ पर और $2$ पर $- x^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 ((- 4^{- 1}) + 2^{- 1}))$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + 2^{- 1}))$

चरण 8.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}))$

चरण 8.2.3

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

चरण 8.2.4

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.4.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}))$

चरण 8.2.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}))$

चरण 8.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{- 1 + 2}{4}))$

चरण 8.2.6

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{1}{4}))$

चरण 8.2.7

$8$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{8}{4})$

चरण 8.2.8

$8$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.8.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4})$

चरण 8.2.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.8.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 (1)})$

चरण 8.2.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1})$

चरण 8.2.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{2}{1})$

चरण 8.2.8.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2)$

चरण 9

$4$ में से $2$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

चरण 10

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

चरण 10.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = 1$

चरण 11