कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 5$ , $[- 1, 11]$

चरण 1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2

$f (x)$ $[- 1, 11]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} - 4 x + 5 d x)$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

चरण 6

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \int_{- 1}^{11} x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

चरण 8

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

चरण 9

चूँकि $- 4$ बटे $x$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 \int_{- 1}^{11} x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

चरण 11

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

चरण 12

स्थिरांक नियम लागू करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

चरण 13

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$11$ पर और $- 1$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 ((\frac{11^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

चरण 13.2

$11$ पर और $- 1$ पर $\frac{x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

चरण 13.3

$11$ पर और $- 1$ पर $5 x$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$11$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{- 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.5

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331 + 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.7

$1331$ और $1$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1332}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.8

$1332$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.8.1

$1332$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.8.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 (1)}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{444}{1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.8.2.4

$444$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \cdot 444 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.9

$2$ को $444$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.10

$11$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.11

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{121 - 1}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.13

$121$ में से $1$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{120}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.14

$120$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.14.1

$120$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.14.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 (1)} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.14.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.14.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{60}{1}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.14.2.4

$60$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \cdot 60 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.15

$- 4$ को $60$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 240 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.16

$888$ में से $240$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.17

$5$ को $11$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 - 5 \cdot - 1)$

चरण 13.4.18

$- 5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 + 5)$

चरण 13.4.19

$55$ और $5$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 60)$

चरण 13.4.20

$648$ और $60$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (708)$

चरण 14

$11$ और $1$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot 708$

चरण 15

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$708$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 (59))$

चरण 15.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 59)$

चरण 15.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = 59$

चरण 16