कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ , $[2, 4]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[2, 4]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ का डोमेन ज्ञात करें.

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चरण 1.1

$\frac{1}{x - 1}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x - 1 = 0$

चरण 1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 1}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 1}$

चरण 2

$f (x)$ $[2, 4]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{1}{x - 1} d x)$

चरण 5

मान लीजिए $u = x - 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 5.1

मान लें $u = x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 5.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = x - 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 - 1$

चरण 5.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$u_{lower} = 1$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = x - 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 4 - 1$

चरण 5.5

$4$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = 3$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

चरण 7

$3$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

चरण 8

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}))$

चरण 9

सरल करें.

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चरण 9.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $3$ के बीच की दूरी $3$ है.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{| 1 |}))$

चरण 9.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{1}))$

चरण 9.3

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (3))$

चरण 10

$4$ में से $2$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (3)$

चरण 11

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (3)$ को सरल करें.

$A (x) = \ln (3^{\frac{1}{2}})$

चरण 12