कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[2, 7]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[2, 7]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \frac{1}{x}$ का डोमेन ज्ञात करें.

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चरण 1.1

$\frac{1}{x}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x = 0$

चरण 1.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

चरण 2

$f (x)$ $[2, 7]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\int_{2}^{7} \frac{1}{x} d x)$

चरण 5

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\ln (| x |)]_{2}^{7})$

चरण 6

उत्तर को सरल करें.

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चरण 6.1

$7$ पर और $2$ पर $\ln (| x |)$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\ln (| 7 |) - \ln (| 2 |))$

चरण 6.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\ln (\frac{| 7 |}{| 2 |}))$

चरण 6.3

सरल करें.

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चरण 6.3.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $7$ के बीच की दूरी $7$ है.

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\ln (\frac{7}{| 2 |}))$

चरण 6.3.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$A (x) = \frac{1}{7 - 2} (\ln (\frac{7}{2}))$

चरण 7

$7$ में से $2$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{7}{2})$

चरण 8

$\frac{1}{5}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{2})$ को सरल करें.

$A (x) = \ln ({(\frac{7}{2})}^{\frac{1}{5}})$

चरण 9

उत्पाद नियम को $\frac{7}{2}$ पर लागू करें.

$A (x) = \ln (\frac{7^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}})$

चरण 10