कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ , $[0, 3]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[0, 3]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

रेडिकैंड को $\sqrt{1 + x}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$1 + x \geq 0$

चरण 1.2

असमानता के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x \geq - 1$

चरण 1.3

$\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt{1 + x} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = 0^{2}$

चरण 1.4.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$\sqrt{1 + x}$ को ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 1.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1

घातांक को ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(1 + x)}^{1} = 0^{2}$

चरण 1.4.2.2.1.2

सरल करें.

$1 + x = 0^{2}$

चरण 1.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$1 + x = 0$

चरण 1.4.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 1.5

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- 1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > - 1}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- 1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > - 1}$

चरण 2

$f (x)$ $[0, 3]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x)$

चरण 5

मान लीजिए $u = 1 + x$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 1 + x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$1 + x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 5.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = 1 + x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 5.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = 1 + x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 3$

चरण 5.5

$1$ और $3$ जोड़ें.

$u_{upper} = 4$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

चरण 6

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

चरण 6.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

चरण 6.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

चरण 6.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

चरण 6.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$4$ पर और $1$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 8.2.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1)$

चरण 8.2.7

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2)$

चरण 8.2.8

$4$ में से $2$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2)$

चरण 9

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 2$

चरण 9.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 2$

चरण 10

$\frac{1}{3}$ और $2$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{2}{3}$

चरण 11