कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[0, 5]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x - 6)}^{2} = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 6 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x = 6$

चरण 1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 6}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 6}$

चरण 2

$f (x)$ $[0, 5]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

चरण 5

मान लीजिए $u = x - 6$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = x - 6$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x - 6$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

चरण 5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = x - 6$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0 - 6$

चरण 5.3

$0$ में से $6$ घटाएं.

$u_{lower} = - 6$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = x - 6$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 5 - 6$

चरण 5.5

$5$ में से $6$ घटाएं.

$u_{upper} = - 1$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

चरण 6

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$u^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

चरण 6.2

घातांक को ${(u^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

चरण 6.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 2}$ का समाकलन $- u^{- 1}$ है.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ पर और $- 6$ पर $- u^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

चरण 8.2.2

ऋणात्मक को $\frac{1}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

चरण 8.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

चरण 8.2.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

चरण 8.2.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

चरण 8.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

चरण 8.2.7

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

चरण 8.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

चरण 8.2.9

$6$ में से $1$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

चरण 9

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

चरण 9.2

$5$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

चरण 10

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

चरण 10.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{6}$

चरण 11