कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 x^{2}}{x + 2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$

चरण 1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x + 2$ है.

$4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 \frac{(x + 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.2

$2$ को $x + 2$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 \frac{2 \cdot (x + 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.3.6.3

$4$ और $\frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{4 (2 (x + 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.4.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.4.1.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.4.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} + 4 (4 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.4.1.4

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} + 16 x + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.4.1.5

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} + 16 x - 4 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.4.2

$8 x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{4 x^{2} + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.5

$4 x^{2} + 16 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1

$4 x^{2}$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x (x) + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.5.2

$16 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x (x) + 4 x (4)}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 1.4.5.3

$4 x (x) + 4 x (4)$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 x (x + 4) = 0$

चरण 2.2

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x + 4 = 0$

चरण 2.2.2

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.2.3

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 2.2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 2.2.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $4 x (x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 4$

चरण 3

मूल फलन $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ को $x = 0$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = \frac{4 {(0)}^{2}}{(0) + 2}$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$4$ और $(0) + 2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$4 {(0)}^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{(0) + 2}$

चरण 3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.2.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 (0) + 2}$

चरण 3.2.1.2.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1}$

चरण 3.2.1.2.3

$2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

चरण 3.2.1.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

चरण 3.2.1.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2}}{0 + 1}$

चरण 3.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

चरण 3.2.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

चरण 3.2.2.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = \frac{0}{1}$

चरण 3.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (0) = 0$

चरण 3.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ को $x = - 4$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{2}}{(- 4) + 2}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$4$ और $(- 4) + 2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$4 {(- 4)}^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{(- 4) + 2}$

चरण 4.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2}$

चरण 4.2.1.2.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2 (1)}$

चरण 4.2.1.2.3

$2 \cdot - 2 + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

चरण 4.2.1.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

चरण 4.2.1.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 4) = \frac{2 {(- 4)}^{2}}{- 2 + 1}$

चरण 4.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 2 + 1}$

चरण 4.2.2.2

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 1}$

चरण 4.2.2.3

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$f (- 4) = \frac{32}{- 1}$

चरण 4.2.2.4

$32$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$f (- 4) = - 32$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $- 32$ है.

$- 32$

चरण 5

फलन $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = 0, y = - 32$ हैं.

$y = 0, y = - 32$

चरण 6