कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - x^{2} + a x + b$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{2} + a x + b$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ है.

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$

चरण 1.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 x + \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [a x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $a x$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 x + a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 x + a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]$

चरण 1.3.3

$a$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 x + a + \frac{d}{d x} [b]$

चरण 1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $b$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $b$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 2 x + a + 0$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$- 2 x + a$ और $0$ जोड़ें.

$- 2 x + a$

चरण 1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$a - 2 x$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $a$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $a$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} x$

चरण 2.2.2

$f'' (x) = 0 - 2 \cdot 1$

चरण 2.2.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - 2$

चरण 2.3

$0$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (x) = - 2$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$a - 2 x = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (a x) + \frac{d}{d x} (b)$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (a x) + \frac{d}{d x} (b)$

चरण 4.1.2.2

$f' (x) = - (2 x) + \frac{d}{d x} (a x) + \frac{d}{d x} (b)$

चरण 4.1.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} (a x) + \frac{d}{d x} (b)$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [a x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $a x$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = - 2 x + a \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (b)$

चरण 4.1.3.2

$f' (x) = - 2 x + a \cdot 1 + \frac{d}{d x} (b)$

चरण 4.1.3.3

$a$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 x + a + \frac{d}{d x} (b)$

चरण 4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $b$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $b$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = - 2 x + a + 0$

चरण 4.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

$- 2 x + a$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 2 x + a$

चरण 4.1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = a - 2 x$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $a - 2 x$ है.

$a - 2 x$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $a - 2 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$a - 2 x = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $a$ घटाएं.

$- 2 x = - a$

चरण 5.3

$- 2 x = - a$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 2 x = - a$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- a}{- 2}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- a}{- 2}$

चरण 5.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- a}{- 2}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$x = \frac{a}{2}$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = \frac{a}{2}$

चरण 8

$x = \frac{a}{2}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 2$

चरण 9

$x = \frac{a}{2}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{a}{2}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 10

$x = \frac{a}{2}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{a}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{a}{2}) = - {(\frac{a}{2})}^{2} + a (\frac{a}{2}) + b$

चरण 10.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{a}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{a}{2}) = - \frac{a^{2}}{2^{2}} + a (\frac{a}{2}) + b$

चरण 10.2.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{a}{2}) = - \frac{a^{2}}{4} + a (\frac{a}{2}) + b$

चरण 10.2.1.3

$a (\frac{a}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.3.1

$a$ और $\frac{a}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{a}{2}) = - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a \cdot a}{2} + b$

चरण 10.2.1.3.2

$a$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{a}{2}) = - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a \cdot a}{2} + b$

चरण 10.2.1.3.3

$a$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{a}{2}) = - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a \cdot a}{2} + b$

चरण 10.2.1.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{a}{2}) = - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{1 + 1}}{2} + b$

चरण 10.2.1.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (\frac{a}{2}) = - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{2} + b$

चरण 10.2.2

$\frac{a^{2}}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{a}{2}) = - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + b$

चरण 10.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$\frac{a^{2}}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{a}{2}) = - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + b$

चरण 10.2.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{a}{2}) = - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2} \cdot 2}{4} + b$

चरण 10.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{a}{2}) = \frac{- a^{2} + a^{2} \cdot 2}{4} + b$

चरण 10.2.5

$- a^{2}$ और $a^{2} \cdot 2$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.1

$a^{2}$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$f (\frac{a}{2}) = \frac{- a^{2} + 2 \cdot a^{2}}{4} + b$

चरण 10.2.5.2

$- a^{2}$ और $2 \cdot a^{2}$ जोड़ें.

$f (\frac{a}{2}) = \frac{a^{2}}{4} + b$

चरण 10.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{a^{2}}{4} + b$ है.

$y = \frac{a^{2}}{4} + b$

चरण 11

ये $f (x) = - x^{2} + a x + b$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{a}{2}, \frac{a^{2}}{4} + b)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 12