कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ है.

$\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

${(x - 5)}^{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

चरण 1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = x - 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x - 5$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

चरण 1.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 5$ से बदलें.

$5 {(x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

चरण 1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ है.

$5 {(x - 5)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

चरण 1.2.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$5 {(x - 5)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

चरण 1.2.7

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4})]$

चरण 1.3.2

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{4})]$

चरण 1.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{1 + 4}]$

चरण 1.3.4

$1$ और $4$ जोड़ें.

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{5}]$

चरण 1.3.5

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 {(x - 1)}^{5}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$ है.

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$

चरण 1.3.6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 1.3.6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 1.3.6.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 1.3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 1.3.8

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 1.3.9

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + 0))$

चरण 1.3.10

$1$ और $0$ जोड़ें.

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \cdot 1)$

चरण 1.3.11

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

चरण 1.3.12

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$

चरण 1.4

$5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$5 {(x - 5)}^{4}$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 25 {(x - 1)}^{4}$

चरण 1.4.2

$25 {(x - 1)}^{4}$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

चरण 1.4.3

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}]$ है.

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में ${(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4}] + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{4}]$ है.

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4}) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = x - 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x - 5$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f'' (x) = 5 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

चरण 2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 5$ से बदलें.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ है.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

चरण 2.3.2

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

चरण 2.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

चरण 2.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

चरण 2.3.4.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

चरण 2.3.5

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 {(x - 1)}^{4}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{4}]$ है.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{4}))$

चरण 2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)))$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

चरण 2.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

चरण 2.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 ({(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

चरण 2.5.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))$

चरण 2.5.3

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))$

चरण 2.5.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + 0))$

चरण 2.5.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

चरण 2.5.5.2

$20$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3})$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3}) + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

चरण 2.6.2

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

चरण 2.6.3

$20$ को $5$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$

चरण 2.6.4

$20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$ में से $20$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.4.1

$20 {(x - 5)}^{3}$ में से $20$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 100 {(x - 1)}^{3}$

चरण 2.6.4.2

$100 {(x - 1)}^{3}$ में से $20$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$

चरण 2.6.4.3

$20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$ में से $20$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3} + 5 {(x - 1)}^{3})$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}) = 0$

चरण 4

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 5

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 6