कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{x}{4}$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

चरण 1.1.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

चरण 1.1.3

$2$ और $\frac{x^{2}}{16}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

चरण 1.1.4

$2$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

चरण 1.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

चरण 1.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

चरण 1.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{1}{8}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{8}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{8} (2 x)$

चरण 1.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$2$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{8} x$

चरण 1.4.2

$\frac{2}{8}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{8}$

चरण 1.4.3

$2$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x)}{8}$

चरण 1.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

चरण 1.4.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

चरण 1.4.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{4}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $\frac{1}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot 1$

चरण 2.3

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{1}{4}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{x}{4} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{x}{4}$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

चरण 4.1.1.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

चरण 4.1.1.3

$2$ और $\frac{x^{2}}{16}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

चरण 4.1.1.4

$2$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.4.1

$2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

चरण 4.1.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.4.2.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

चरण 4.1.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

चरण 4.1.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

चरण 4.1.2

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3

$\frac{1}{8} (2 x)$

चरण 4.1.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$2$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{8} x$

चरण 4.1.4.2

$\frac{2}{8}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{8}$

चरण 4.1.4.3

$2$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.3.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x)}{8}$

चरण 4.1.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.3.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

चरण 4.1.4.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

चरण 4.1.4.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{x}{4}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{x}{4}$ है.

$\frac{x}{4}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{x}{4} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{x}{4} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 0$

चरण 8

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{1}{4}$

चरण 9

$x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 10

$x = 0$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = 2 {(\frac{0}{4})}^{2}$

चरण 10.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$f (0) = 2 \cdot 0^{2}$

चरण 10.2.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 2 \cdot 0$

चरण 10.2.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0$

चरण 10.2.4

अंतिम उत्तर $0$ है.

$y = 0$

चरण 11

ये $f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(0, 0)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 12