कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ है.

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{\frac{7}{4}}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{7}{4}$ है.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.2.4

$- 1$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.2.6.2

$7$ में से $4$ घटाएं.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.2.7

$\frac{7}{4}$ और $x^{\frac{3}{4}}$ को मिलाएं.

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.2.8

$5$ और $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.2.9

$7$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 70 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 70$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 70 x$ का व्युत्पन्न $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.3.3

$- 70$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $15$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $15$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

चरण 1.4.2

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $\frac{35}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ है.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{3}{4}$ है.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.4

$- 1$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.6.2

$3$ में से $4$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.8

$\frac{3}{4}$ और $x^{- \frac{1}{4}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.9

$\frac{35}{4}$ को $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{35 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.10

$3$ को $35$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.11

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{16} + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.2.12

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{4}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} (- 70)$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 70$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 70$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + 0$

चरण 2.3.2

$\frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.2.2

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.2.4

$- 1$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.6.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.2.6.2

$7$ में से $4$ घटाएं.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.2.7

$\frac{7}{4}$ और $x^{\frac{3}{4}}$ को मिलाएं.

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.2.8

$5$ और $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.2.9

$7$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 70 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.3.2

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.3.3

$- 70$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

चरण 4.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $15$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $15$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

चरण 4.1.4.2

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ है.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $70$ जोड़ें.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = 70$

चरण 5.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{4}{35}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

चरण 5.4

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

$\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1

जोड़ना.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

चरण 5.4.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

चरण 5.4.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

चरण 5.4.1.1.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

चरण 5.4.1.1.5

$x^{\frac{3}{4}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot 70$

चरण 5.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$\frac{4}{35} \cdot 70$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

$35$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1.1

$70$ में से $35$ का गुणनखंड करें.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 (2))$

चरण 5.4.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 \cdot 2)$

चरण 5.4.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{\frac{3}{4}} = 4 \cdot 2$

चरण 5.4.2.1.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x^{\frac{3}{4}} = 8$

चरण 5.5

बाईं ओर के भिन्नात्मक घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के प्रत्येक पक्ष को $\frac{4}{3}$ की घात तक बढ़ाएँ.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

चरण 5.6

घातांक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1.1

घातांक को ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

चरण 5.6.1.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

चरण 5.6.1.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

चरण 5.6.1.1.1.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

चरण 5.6.1.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

चरण 5.6.1.1.2

सरल करें.

$x = 8^{\frac{4}{3}}$

चरण 5.6.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$8^{\frac{4}{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1.1.1

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

चरण 5.6.2.1.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

चरण 5.6.2.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

चरण 5.6.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2^{4}$

चरण 5.6.2.1.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = 16$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{35 \sqrt[4]{x^{3}}}{4} - 70$

चरण 6.2

रेडिकैंड को $\sqrt[4]{x^{3}}$ में $0$ से कम में सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{3} < 0$

चरण 6.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए असमिका के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

चरण 6.3.2

समीकरण को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x < \sqrt[3]{0}$

चरण 6.3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 6.3.2.2.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x < 0$

चरण 6.4

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 16$

चरण 8

$x = 16$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{105}{16 {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

घातांक जोड़कर $16$ को ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$16$ को ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$16$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{105}{16^{1} {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

चरण 9.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{105}{16^{1 + \frac{1}{4}}}$

चरण 9.1.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{105}{16^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}$

चरण 9.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{105}{16^{\frac{4 + 1}{4}}}$

चरण 9.1.4

$4$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{105}{16^{\frac{5}{4}}}$

चरण 9.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$16$ को $2^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{105}{{(2^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

चरण 9.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

चरण 9.2.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

चरण 9.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{105}{2^{5}}$

चरण 9.2.4

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{105}{32}$

चरण 10

$x = 16$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 16$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = 16$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $16$ से बदलें.

$f (16) = 5 {(16)}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

$16$ को $2^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (16) = 5 {(2^{4})}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

चरण 11.2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

चरण 11.2.1.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

चरण 11.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (16) = 5 \cdot 2^{7} - 70 \cdot 16 + 15$

चरण 11.2.1.4

$2$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (16) = 5 \cdot 128 - 70 \cdot 16 + 15$

चरण 11.2.1.5

$5$ को $128$ से गुणा करें.

$f (16) = 640 - 70 \cdot 16 + 15$

चरण 11.2.1.6

$- 70$ को $16$ से गुणा करें.

$f (16) = 640 - 1120 + 15$

चरण 11.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

$640$ में से $1120$ घटाएं.

$f (16) = - 480 + 15$

चरण 11.2.2.2

$- 480$ और $15$ जोड़ें.

$f (16) = - 465$

चरण 11.2.3

अंतिम उत्तर $- 465$ है.

$y = - 465$

चरण 12

ये $f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(16, - 465)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 13