कैलकुलस उदाहरण

चूंकि ${\displaystyle 6}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 6{\sin }^2\left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[{\sin }^2\left(x\right)\right]}$ है.

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ और ${\displaystyle g\left(x\right)=\sin \left(x\right)}$ है.

${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ है.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle 6}$ से गुणा करें.

चूंकि ${\displaystyle 6}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 6\sin \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[\sin \left(x\right)\right]}$ है.

${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ है.

चूंकि ${\displaystyle 12}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 12\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 12\frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)\right]}$ है.

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$ और ${\displaystyle g\left(x\right)=\sin \left(x\right)}$ है.

${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ है.

${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle -\sin \left(x\right)}$ है.

${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ को ${\displaystyle 1}$ के घात तक बढ़ाएं.

${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ को ${\displaystyle 1}$ के घात तक बढ़ाएं.

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ का उपयोग करें.

${\displaystyle 1}$ और ${\displaystyle 1}$ जोड़ें.

${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ को ${\displaystyle 1}$ के घात तक बढ़ाएं.

${\displaystyle \sin \left(x\right)}$ को ${\displaystyle 1}$ के घात तक बढ़ाएं.

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ का उपयोग करें.

${\displaystyle 1}$ और ${\displaystyle 1}$ जोड़ें.

चूंकि ${\displaystyle 6}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle 6\cos \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\right]}$ है.

${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle \cos \left(x\right)}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle -\sin \left(x\right)}$ है.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle 6}$ से गुणा करें.

वितरण गुणधर्म लागू करें.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle 12}$ से गुणा करें.

कोज्या के अंदर से ${\displaystyle x}$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को ${\displaystyle 2\pi }$ से घटाएं.

${\displaystyle 2\pi -\frac{\pi }{2}}$ को सरल करें.

समीकरण का हल ${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}}$.

समीकरण के दोनों पक्षों से ${\displaystyle 1}$ घटाएं.

${\displaystyle 2\sin \left(x\right)=-1}$ के प्रत्येक पद को ${\displaystyle 2}$ से भाग दें और सरल करें.

ज्या के अंदर से ${\displaystyle x}$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, संदर्भ कोण पता करने के लिए हल को ${\displaystyle 2\pi }$ से घटाएं. इसके बाद, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए इस संदर्भ कोण को ${\displaystyle \pi }$ में जोड़ें.

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

समीकरण का हल ${\displaystyle x=-\frac{\pi }{6}}$.

${\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{2}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 0}$ है.

${\displaystyle 0}$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से ${\displaystyle 0}$ प्राप्त होता है.

${\displaystyle 12}$ को ${\displaystyle 0}$ से गुणा करें.

${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 1}$ है.

एक का कोई भी घात एक होता है.

${\displaystyle -12}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 1}$ है.

${\displaystyle -6}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 0}$ में से ${\displaystyle 12}$ घटाएं.

${\displaystyle -12}$ में से ${\displaystyle 6}$ घटाएं.

प्रत्येक पद को सरल करें.

${\displaystyle 6}$ और ${\displaystyle 6}$ जोड़ें.

अंतिम उत्तर ${\displaystyle 12}$ है.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

${\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{2}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 0}$ है.

${\displaystyle 0}$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से ${\displaystyle 0}$ प्राप्त होता है.

${\displaystyle 12}$ को ${\displaystyle 0}$ से गुणा करें.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 1}$ है.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle 2}$ के घात तक बढ़ाएं.

${\displaystyle -12}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle 1}$ है.

${\displaystyle -6(-1\cdot 1)}$ गुणा करें.

${\displaystyle 0}$ में से ${\displaystyle 12}$ घटाएं.

${\displaystyle -12}$ और ${\displaystyle 6}$ जोड़ें.

प्रत्येक पद को सरल करें.

${\displaystyle 6}$ में से ${\displaystyle 6}$ घटाएं.

अंतिम उत्तर ${\displaystyle 0}$ है.

${\displaystyle 2\pi }$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण ${\displaystyle 0}$ से बड़ा या उसके बराबर और ${\displaystyle 2\pi }$ से कम न हो जाए.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

${\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{6}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ है.

उत्पाद नियम को ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ पर लागू करें.

${\displaystyle {\sqrt{3}}^2}$ को ${\displaystyle 3}$ के रूप में फिर से लिखें.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle 2}$ के घात तक बढ़ाएं.

${\displaystyle 4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\displaystyle 3}$ को ${\displaystyle 3}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2\pi }$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण ${\displaystyle 0}$ से बड़ा या उसके बराबर और ${\displaystyle 2\pi }$ से कम न हो जाए.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{6}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ है.

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${\displaystyle {\left(ab\right)}^n=a^n{b}^n}$ का उपयोग करें.

${\displaystyle -1}$ को ${\displaystyle 2}$ के घात तक बढ़ाएं.

${\displaystyle \frac{1^2}{2^2}}$ को ${\displaystyle 1}$ से गुणा करें.

एक का कोई भी घात एक होता है.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle 2}$ के घात तक बढ़ाएं.

${\displaystyle 4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\displaystyle 2\pi }$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण ${\displaystyle 0}$ से बड़ा या उसके बराबर और ${\displaystyle 2\pi }$ से कम न हो जाए.

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{6}\right)}$ का सटीक मान ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ है.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\displaystyle -3}$ को ${\displaystyle -1}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 9}$ में से ${\displaystyle 3}$ घटाएं.

${\displaystyle 6}$ और ${\displaystyle 3}$ जोड़ें.