कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{2}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

चरण 1.2.3

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 x + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$16 x + 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.3.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$16 x + 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$16 x + 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 1.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$16 x + 8 (\cos (2 x) \cdot 2)$

चरण 1.3.6

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$16 x + 8 (2 \cdot \cos (2 x))$

चरण 1.3.7

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 x + 16 \cos (2 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $16 x + 16 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [16 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $16 x$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

चरण 2.2.2

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

चरण 2.2.3

$16$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $16 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = 16 + 16 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 16 + 16 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

चरण 2.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 16 + 16 (- 2 \sin (2 x))$

चरण 2.3.7

$- 2$ को $16$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 16 - 32 \sin (2 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$16 x + 16 \cos (2 x) = 0$

चरण 4

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x \approx - 0.51493326$

चरण 5

$x = - 0.51493326$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$16 - 32 \sin (2 (- 0.51493326))$

चरण 6

$2$ को $- 0.51493326$ से गुणा करें.

$16 - 32 \sin (- 1.02986652)$

चरण 7

$x = - 0.51493326$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - 0.51493326$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 8

$x = - 0.51493326$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.51493326$ से बदलें.

$f (- 0.51493326) = 8 {(- 0.51493326)}^{2} + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$- 0.51493326$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 0.51493326) = 8 \cdot 0.26515626 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

चरण 8.2.1.2

$8$ को $0.26515626$ से गुणा करें.

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

चरण 8.2.1.3

$2$ को $- 0.51493326$ से गुणा करें.

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (- 1.02986652)$

चरण 8.2.2

$2.12125013$ और $8 \sin (- 1.02986652)$ जोड़ें.

$f (- 0.51493326) = - 4.73659201$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $- 4.73659201$ है.

$y = - 4.73659201$

चरण 9

ये $f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(- 0.51493326, - 4.73659201)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 10