कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $8 \sqrt{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 \sqrt{3} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$8 \sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 (- \sin (x))$

चरण 1.3.3

$- 1$ को $- 8$ से गुणा करें.

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $8 \sqrt{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 \sqrt{3} \cos (x)$ का व्युत्पन्न $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

चरण 2.2.3

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \cos (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x) = 0$

चरण 4

समीकरण के प्रत्येक पद को $\cos (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 5

$\cos (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 5.2

$8 \sqrt{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$8 \sqrt{3} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 6

अलग-अलग भिन्न

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 8

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 9

अलग-अलग भिन्न

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

चरण 10

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

चरण 11

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0 \sec (x)$

चरण 12

$0$ को $\sec (x)$ से गुणा करें.

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0$

चरण 13

समीकरण के दोनों पक्षों से $8 \sqrt{3}$ घटाएं.

$8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$

चरण 14

$8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ के प्रत्येक पद को $8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ के प्रत्येक पद को $8$ से विभाजित करें.

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

चरण 14.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

चरण 14.2.1.2

$\tan (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

चरण 14.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$- 8$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.1

$- 8 \sqrt{3}$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8}$

चरण 14.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1.2.1

$8$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 (1)}$

चरण 14.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 \cdot 1}$

चरण 14.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

चरण 14.3.1.2.4

$- \sqrt{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

चरण 15

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

चरण 16

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ का सटीक मान $- \frac{π}{3}$ है.

$x = - \frac{π}{3}$

चरण 17

दूसरे और चौथे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = - \frac{π}{3} - π$

चरण 18

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$2 π$ को $- \frac{π}{3} - π$ में जोड़ें.

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

चरण 18.2

$\frac{2 π}{3}$ का परिणामी कोण $- \frac{π}{3} - π$ के साथ धनात्मक और कोटरमिनल है.

$x = \frac{2 π}{3}$

चरण 19

समीकरण का हल $x = - \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

चरण 20

$x = - \frac{π}{3}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 8 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.4.2

$- 8 \sqrt{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.5

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.6

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.7

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.10

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1.10.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.10.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.10.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.10.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1.10.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.10.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.10.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$4 \cdot 3 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.11

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$12 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 21.1.12

$12 + 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 21.1.13

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$12 + 8 \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.1.14

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$12 + 8 (\frac{1}{2})$

चरण 21.1.15

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1.15.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$12 + 2 (4) \frac{1}{2}$

चरण 21.1.15.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$12 + 2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

चरण 21.1.15.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$12 + 4$

चरण 21.2

$12$ और $4$ जोड़ें.

$16$

चरण 22

$x = - \frac{π}{3}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - \frac{π}{3}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 23

$x = - \frac{π}{3}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{π}{3}$ से बदलें.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1.1

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.2

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.4.2

$8 \sqrt{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{π}{3}) = 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.5

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.6

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.7

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.10

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1.10.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.10.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.10.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1.10.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.10.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.10.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.11

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.12

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 23.2.1.13

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{π}{3})$

चरण 23.2.1.14

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 (\frac{1}{2})$

चरण 23.2.1.15

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1.15.1

$- 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 (- 4) (\frac{1}{2})$

चरण 23.2.1.15.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2}))$

चरण 23.2.1.15.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 4$

चरण 23.2.2

$- 12$ में से $4$ घटाएं.

$f (- \frac{π}{3}) = - 16$

चरण 23.2.3

अंतिम उत्तर $- 16$ है.

$y = - 16$

चरण 24

$x = \frac{2 π}{3}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1.1

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- 8 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1.3.1

$- 8 \sqrt{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.4

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.5

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.8

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1.8.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.8.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.8.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.8.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1.8.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.8.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.8.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- 4 \cdot 3 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.9

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$- 12 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 25.1.10

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- 12 + 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

चरण 25.1.11

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$- 12 + 8 (- \frac{1}{2})$

चरण 25.1.12

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1.12.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 12 + 8 (\frac{- 1}{2})$

चरण 25.1.12.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 12 + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

चरण 25.1.12.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 12 + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

चरण 25.1.12.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 12 + 4 \cdot - 1$

चरण 25.1.13

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 12 - 4$

चरण 25.2

$- 12$ में से $4$ घटाएं.

$- 16$

चरण 26

$x = \frac{2 π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{2 π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 27

$x = \frac{2 π}{3}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{2 π}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.2.1.1

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.2.1.3.1

$8 \sqrt{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.4

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.5

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.8

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.2.1.8.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.8.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.8.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.8.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.2.1.8.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.8.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.8.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.9

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 27.2.1.10

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

चरण 27.2.1.11

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \frac{1}{2})$

चरण 27.2.1.12

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.2.1.12.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (\frac{- 1}{2})$

चरण 27.2.1.12.2

$- 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 (- 4) (\frac{- 1}{2})$

चरण 27.2.1.12.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{- 1}{2}))$

चरण 27.2.1.12.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 4 \cdot - 1$

चरण 27.2.1.13

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 4$

चरण 27.2.2

$12$ और $4$ जोड़ें.

$f (\frac{2 π}{3}) = 16$

चरण 27.2.3

अंतिम उत्तर $16$ है.

$y = 16$

चरण 28

ये $f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(- \frac{π}{3}, - 16)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(\frac{2 π}{3}, 16)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 29