कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

चरण 1.2.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sin^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ है.

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 1.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 4 \sin (x) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

चरण 1.3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

चरण 1.3.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- 4 \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

चरण 1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 \cos (x) \sin (x)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.5

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.6

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.9

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.10

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

चरण 2.4.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ में से $4 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$4 \cos (x) \sin (x)$ में से $4 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2

$- 4 \sin (x)$ में से $4 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

चरण 4.3

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1$ में से $4 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

चरण 5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

चरण 6

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए $\sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 6.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 6.2.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 6.2.4

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 6.2.5

समीकरण का हल $x = 0$ .

$x = 0, π$

चरण 7

$\cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) - 1 = 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए $\cos (x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\cos (x) = 1$

चरण 7.2.2

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (1)$

चरण 7.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$\arccos (1)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 7.2.4

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - 0$

चरण 7.2.5

$2 π$ में से $0$ घटाएं.

$x = 2 π$

चरण 7.2.6

समीकरण का हल $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

चरण 8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, π, 2 π$

चरण 9

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

चरण 10

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

चरण 10.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

चरण 10.1.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

चरण 10.1.4

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$4 - 4 \cdot 0^{2} - 4 \cos (0)$

चरण 10.1.5

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$4 - 4 \cdot 0 - 4 \cos (0)$

चरण 10.1.6

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$4 + 0 - 4 \cos (0)$

चरण 10.1.7

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$4 + 0 - 4 \cdot 1$

चरण 10.1.8

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + 0 - 4$

चरण 10.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4 - 4$

चरण 10.2.2

$4$ में से $4$ घटाएं.

$0$

चरण 11

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

चरण 11.2

पहले व्युत्पन्न $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ में अंतराल $(- \infty, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = 4 \cos (- 2) \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

चरण 11.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1.1

$\cos (- 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 4 \sin (- 2)$

चरण 11.2.2.1.2

$4$ को $- 0.41614683$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = - 1.66458734 \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

चरण 11.2.2.1.3

$\sin (- 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = - 1.66458734 \cdot - 0.90929742 - 4 \sin (- 2)$

चरण 11.2.2.1.4

$- 1.66458734$ को $- 0.90929742$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \sin (- 2)$

चरण 11.2.2.1.5

$\sin (- 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \cdot - 0.90929742$

चरण 11.2.2.1.6

$- 4$ को $- 0.90929742$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = 1.51360499 + 3.6371897$

चरण 11.2.2.2

$1.51360499$ और $3.6371897$ जोड़ें.

$f' (- 2) = 5.15079469$

चरण 11.2.2.3

अंतिम उत्तर $5.15079469$ है.

$5.15079469$

चरण 11.3

पहले व्युत्पन्न $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ में अंतराल $(0, π)$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = 4 \cos (2) \sin (2) - 4 \sin (2)$

चरण 11.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1.1

$\cos (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 4 \sin (2)$

चरण 11.3.2.1.2

$4$ को $- 0.41614683$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 1.66458734 \sin (2) - 4 \sin (2)$

चरण 11.3.2.1.3

$\sin (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 1.66458734 \cdot 0.90929742 - 4 \sin (2)$

चरण 11.3.2.1.4

$- 1.66458734$ को $0.90929742$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \sin (2)$

चरण 11.3.2.1.5

$\sin (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \cdot 0.90929742$

चरण 11.3.2.1.6

$- 4$ को $0.90929742$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 1.51360499 - 3.6371897$

चरण 11.3.2.2

$- 1.51360499$ में से $3.6371897$ घटाएं.

$f' (2) = - 5.15079469$

चरण 11.3.2.3

अंतिम उत्तर $- 5.15079469$ है.

$- 5.15079469$

चरण 11.4

पहले व्युत्पन्न $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ में अंतराल $(π, 2 π)$ से कोई भी संख्या, जैसे $5$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f' (5) = 4 \cos (5) \sin (5) - 4 \sin (5)$

चरण 11.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1.1

$\cos (5)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (5) = 4 \cdot (0.28366218 \sin (5)) - 4 \sin (5)$

चरण 11.4.2.1.2

$4$ को $0.28366218$ से गुणा करें.

$f' (5) = 1.13464874 \sin (5) - 4 \sin (5)$

चरण 11.4.2.1.3

$\sin (5)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (5) = 1.13464874 \cdot - 0.95892427 - 4 \sin (5)$

चरण 11.4.2.1.4

$1.13464874$ को $- 0.95892427$ से गुणा करें.

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \sin (5)$

चरण 11.4.2.1.5

$\sin (5)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \cdot - 0.95892427$

चरण 11.4.2.1.6

$- 4$ को $- 0.95892427$ से गुणा करें.

$f' (5) = - 1.08804222 + 3.83569709$

चरण 11.4.2.2

$- 1.08804222$ और $3.83569709$ जोड़ें.

$f' (5) = 2.74765487$

चरण 11.4.2.3

अंतिम उत्तर $2.74765487$ है.

$2.74765487$

चरण 11.5

पहले व्युत्पन्न $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ में अंतराल $(2 π, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $9$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $9$ से बदलें.

$f' (9) = 4 \cos (9) \sin (9) - 4 \sin (9)$

चरण 11.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.1.1

$\cos (9)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (9) = 4 \cdot (- 0.91113026 \sin (9)) - 4 \sin (9)$

चरण 11.5.2.1.2

$4$ को $- 0.91113026$ से गुणा करें.

$f' (9) = - 3.64452104 \sin (9) - 4 \sin (9)$

चरण 11.5.2.1.3

$\sin (9)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (9) = - 3.64452104 \cdot 0.41211848 - 4 \sin (9)$

चरण 11.5.2.1.4

$- 3.64452104$ को $0.41211848$ से गुणा करें.

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \sin (9)$

चरण 11.5.2.1.5

$\sin (9)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \cdot 0.41211848$

चरण 11.5.2.1.6

$- 4$ को $0.41211848$ से गुणा करें.

$f' (9) = - 1.50197449 - 1.64847394$

चरण 11.5.2.2

$- 1.50197449$ में से $1.64847394$ घटाएं.

$f' (9) = - 3.15044843$

चरण 11.5.2.3

अंतिम उत्तर $- 3.15044843$ है.

$- 3.15044843$

चरण 11.6

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = 0$ के लगभग बदल दिया, तो $x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11.7

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = π$ के लगभग बदल दिया, तो $x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11.8

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = 2 π$ के लगभग बदल दिया, तो $x = 2 π$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 2 π$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11.9

ये $f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = 2 π$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = 2 π$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 12