कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 \sqrt{x^{3}} - 9$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\sqrt{x^{3}}$ को $x^{\frac{3}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{\frac{3}{2}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{3}{2}$ है.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.7.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.8

$\frac{3}{2}$ और $x^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.9

$4$ और $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.10

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.11

$12 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.12.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.2.12.4

$6 x^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

चरण 1.3.2

$6 x^{\frac{1}{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$6 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 2.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 2.8

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 2.9

$6$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 2.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.11

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 2.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$\sqrt{x^{3}}$ को $x^{\frac{3}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.2

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.3

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.7.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.8

$\frac{3}{2}$ और $x^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.9

$4$ और $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.10

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.11

$12 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.12.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.2.12.4

$6 x^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 4.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

चरण 4.1.3.2

$6 x^{\frac{1}{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x^{\frac{1}{2}}$ है.

$6 x^{\frac{1}{2}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

चरण 5.2

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

चरण 5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

चरण 5.2.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{6}$

चरण 5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$0$ को $6$ से विभाजित करें.

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

चरण 5.3

बाईं ओर के भिन्नात्मक घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के प्रत्येक पक्ष को $2$ की घात तक बढ़ाएँ.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 5.4

घातांक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 5.4.1.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 5.4.1.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{1} = 0^{2}$

चरण 5.4.1.1.2

सरल करें.

$x = 0^{2}$

चरण 5.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$x = 0$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$6 \sqrt{x^{1}}$

चरण 6.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$6 \sqrt{x}$

चरण 6.2

रेडिकैंड को $\sqrt{x}$ में $0$ से कम में सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x < 0$

चरण 6.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 0$

चरण 8

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{3}{{(0)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 9.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{0^{1}}$

चरण 9.3

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{0}$

चरण 9.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 10

चूँकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण विफल रहा, इसलिए कोई स्थानीय एक्सट्रीमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 11