कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $4.1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4.1 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$4.1 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1.6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1.6 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$4.1 \cos (x) - 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$4.1 \cos (x) - 1.6 (- \sin (x))$

चरण 1.3.3

$- 1$ को $- 1.6$ से गुणा करें.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4.1 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $4.1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4.1 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $4.1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$f'' (x) = 4.1 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f'' (x) = 4.1 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

चरण 2.2.3

$- 1$ को $4.1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $1.6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $1.6 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $1.6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \cos (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x) = 0$

चरण 4

समीकरण के प्रत्येक पद को $\cos (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 5

$\cos (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 5.2

$4.1$ को $1$ से विभाजित करें.

$4.1 + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 6

अलग-अलग भिन्न

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 8

$1.6$ को $1$ से विभाजित करें.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 9

अलग-अलग भिन्न

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

चरण 10

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

चरण 11

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

चरण 12

$0$ को $\sec (x)$ से गुणा करें.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0$

चरण 13

समीकरण के दोनों पक्षों से $4.1$ घटाएं.

$1.6 \tan (x) = - 4.1$

चरण 14

$1.6 \tan (x) = - 4.1$ के प्रत्येक पद को $1.6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$1.6 \tan (x) = - 4.1$ के प्रत्येक पद को $1.6$ से विभाजित करें.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

चरण 14.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$1.6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

चरण 14.2.1.2

$\tan (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = \frac{- 4.1}{1.6}$

चरण 14.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$- 4.1$ को $1.6$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = - 2.5625$

चरण 15

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (- 2.5625)$

चरण 16

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\arctan (- 2.5625)$ का मान ज्ञात करें.

$x = - 1.19872856$

चरण 17

दूसरे और चौथे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265)$

चरण 18

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$2 π$ को $- 1.19872856 - (3.14159265)$ में जोड़ें.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265) + 2 π$

चरण 18.2

$1.94286408$ का परिणामी कोण $- 1.19872856 - (3.14159265)$ के साथ धनात्मक और कोटरमिनल है.

$x = 1.94286408$

चरण 19

समीकरण का हल $x = - 1.19872856$ .

$x = - 1.19872856, 1.94286408$

चरण 20

$x = - 1.19872856$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 4.1 \sin (- 1.19872856) + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

चरण 21

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1.1

$- 4.1$ को $\sin (- 1.19872856)$ से गुणा करें.

$3.81946823 + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

चरण 21.1.2

$1.6$ को $\cos (- 1.19872856)$ से गुणा करें.

$3.81946823 + 0.58166797$

चरण 21.2

$3.81946823$ और $0.58166797$ जोड़ें.

$4.40113621$

चरण 22

$x = - 1.19872856$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - 1.19872856$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 23

$x = - 1.19872856$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1.19872856$ से बदलें.

$f (- 1.19872856) = 4.1 \sin (- 1.19872856) - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

चरण 23.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1.1

$4.1$ को $\sin (- 1.19872856)$ से गुणा करें.

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

चरण 23.2.1.2

$- 1.6$ को $\cos (- 1.19872856)$ से गुणा करें.

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 0.58166797$

चरण 23.2.2

$- 3.81946823$ में से $0.58166797$ घटाएं.

$f (- 1.19872856) = - 4.40113621$

चरण 23.2.3

अंतिम उत्तर $- 4.40113621$ है.

$y = - 4.40113621$

चरण 24

$x = 1.94286408$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 4.1 \sin (1.94286408) + 1.6 \cos (1.94286408)$

चरण 25

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1.1

$- 4.1$ को $\sin (1.94286408)$ से गुणा करें.

$- 3.81946823 + 1.6 \cos (1.94286408)$

चरण 25.1.2

$1.6$ को $\cos (1.94286408)$ से गुणा करें.

$- 3.81946823 - 0.58166797$

चरण 25.2

$- 3.81946823$ में से $0.58166797$ घटाएं.

$- 4.40113621$

चरण 26

$x = 1.94286408$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 1.94286408$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 27

$x = 1.94286408$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.94286408$ से बदलें.

$f (1.94286408) = 4.1 \sin (1.94286408) - 1.6 \cos (1.94286408)$

चरण 27.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.2.1.1

$4.1$ को $\sin (1.94286408)$ से गुणा करें.

$f (1.94286408) = 3.81946823 - 1.6 \cos (1.94286408)$

चरण 27.2.1.2

$- 1.6$ को $\cos (1.94286408)$ से गुणा करें.

$f (1.94286408) = 3.81946823 + 0.58166797$

चरण 27.2.2

$3.81946823$ और $0.58166797$ जोड़ें.

$f (1.94286408) = 4.40113621$

चरण 27.2.3

अंतिम उत्तर $4.40113621$ है.

$y = 4.40113621$

चरण 28

ये $f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(- 1.19872856, - 4.40113621)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(1.94286408, 4.40113621)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 29