कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x^{y} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{y} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{y}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{y}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = y$ है.

$3 y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$3 y x^{y - 1} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 y x^{y - 1} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.3.3

$3$ को $- 4$ से गुणा करें.

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $- 12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 12 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.4.3

$2$ को $- 12$ से गुणा करें.

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.5

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x + 0$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x$ और $0$ जोड़ें.

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x$

चरण 1.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 12 x^{2} + 3 x^{y - 1} y - 24 x$

चरण 1.6.3

गुणनखंडों को $- 12 x^{2} + 3 x^{y - 1} y - 24 x$ में पुन: क्रमित करें.

$- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y x^{y - 1}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

चरण 2.2.2

$f'' (x) = - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

चरण 2.2.3

$2$ को $- 12$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 24 x + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 y x^{y - 1}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 y x^{y - 1}$ का व्युत्पन्न $3 y \frac{d}{d x} [x^{y - 1}]$ है.

$f'' (x) = - 24 x + 3 y \frac{d}{d x} (x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = y - 1$ है.

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

चरण 2.3.3

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $- 24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 24 x$ का व्युत्पन्न $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24 \frac{d}{d x} x$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24 \cdot 1$

चरण 2.4.3

$- 24$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24$

चरण 2.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = 3 x^{y - 2} y (y - 1) - 24 x - 24$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x = 0$

चरण 4

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 5

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 6