कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 \csc (4 x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \csc (4 x)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \csc (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\csc (u)$ का व्युत्पन्न $- \csc (u) \cot (u)$ है.

$3 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$3 (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 (\csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

चरण 1.3.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 3 \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1$

चरण 1.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$

चरण 1.3.5.2

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$ का व्युत्पन्न $- 12 \frac{d}{d x} [\cot (4 x) \csc (4 x)]$ है.

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cot (4 x) \csc (4 x))$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cot (4 x)$ और $g (x) = \csc (4 x)$ है.

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) \frac{d}{d x} (\csc (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\csc (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.3.2

$u_{1}$ के संबंध में $\csc (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ है.

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.4

$\cot (4 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.5

$\cot (4 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) {\cot (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.7

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.7.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.7.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} x + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.7.4

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \cdot 1 + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.7.5

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

चरण 2.8

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cot (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cot (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

चरण 2.8.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cot (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \csc^{2} (u_{2})$ है.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

चरण 2.8.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

चरण 2.9

$\csc (4 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc (4 x) \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

चरण 2.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - {\csc (4 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} (4 x))$

चरण 2.11

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

चरण 2.12

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

चरण 2.13

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} x)$

चरण 2.14

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \cdot 1)$

चरण 2.15

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x))$

चरण 2.16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.16.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

चरण 2.16.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.16.2.1

$- 4$ को $- 12$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 48 (\csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

चरण 2.16.2.2

$- 4$ को $- 12$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 48 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

चरण 2.16.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = 48 \cot^{2} (4 x) \csc (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$

चरण 4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\cot (4 x) = 0$

$\csc (4 x) = 0$

चरण 5

$\cot (4 x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\cot (4 x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cot (4 x) = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए $\cot (4 x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

कोटिस्पर्शज्या के अंदर से $x$ को निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम कोटिस्पर्शज्या लें.

$4 x = arccot (0)$

चरण 5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$arccot (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$4 x = \frac{π}{2}$

चरण 5.2.3

$4 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$4 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

चरण 5.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

चरण 5.2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

चरण 5.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

चरण 5.2.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

चरण 5.2.3.3.2.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{8}$

चरण 5.2.4

पहले और तीसरे चतुर्थांश में कोटिस्पर्शज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए $π$ से संदर्भ कोण जोड़ें.

$4 x = π + \frac{π}{2}$

चरण 5.2.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

चरण 5.2.5.1.2

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

चरण 5.2.5.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

चरण 5.2.5.1.4

$π \cdot 2$ और $π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1.4.1

$π$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$4 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

चरण 5.2.5.1.4.2

$2 \cdot π$ और $π$ जोड़ें.

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

चरण 5.2.5.2

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.1

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

चरण 5.2.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

चरण 5.2.5.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

चरण 5.2.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

चरण 5.2.5.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

चरण 5.2.5.2.3.2.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{8}$

चरण 5.2.6

समीकरण का हल $4 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

चरण 6

$\csc (4 x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\csc (4 x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\csc (4 x) = 0$

चरण 6.2

व्युत्क्रमज्या की सीमा $y \leq - 1$ और $y \geq 1$ है. चूंकि $0$ इस श्रेणी में नहीं आता है, इसलिए कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

चरण 8

$x = \frac{π}{8}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{π}{8})) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$48 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.2

$\cot (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.4

$48$ को $0$ से गुणा करें.

$0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$0 \csc (4 \frac{π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 \csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.6

$\csc (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$0 \cdot 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.7

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 9.1.8

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.8.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 (2)})$

चरण 9.1.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

चरण 9.1.8.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

चरण 9.1.9

$\csc (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$0 + 48 \cdot 1^{3}$

चरण 9.1.10

एक का कोई भी घात एक होता है.

$0 + 48 \cdot 1$

चरण 9.1.11

$48$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 48$

चरण 9.2

$0$ और $48$ जोड़ें.

$48$

चरण 10

$x = \frac{π}{8}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{8}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = \frac{π}{8}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{8}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{8}))$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

चरण 11.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

चरण 11.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (\frac{π}{2})$

चरण 11.2.2

$\csc (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \cdot 1$

चरण 11.2.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{8}) = 3$

चरण 11.2.4

अंतिम उत्तर $3$ है.

$y = 3$

चरण 12

$x = \frac{3 π}{8}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{3 π}{8})) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$48 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में व्युत्क्रम कोटिस्पर्शज्या ऋणात्मक है.

$48 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.3

$\cot (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$48 {(- 0)}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.5

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.6

$48$ को $0$ से गुणा करें.

$0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.7

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.7.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.8

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में व्युत्क्रमज्या ऋणात्मक है.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.9

$\csc (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$0 (- 1 \cdot 1) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.10

$0 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.10.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 \cdot - 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.10.2

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 13.1.11

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.11.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 (2)})$

चरण 13.1.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2})$

चरण 13.1.11.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

चरण 13.1.12

$0 + 48 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

चरण 13.1.13

$\csc (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$0 + 48 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

चरण 13.1.14

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 48 {(- 1)}^{3}$

चरण 13.1.15

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$0 + 48 \cdot - 1$

चरण 13.1.16

$48$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 48$

चरण 13.2

$0$ में से $48$ घटाएं.

$- 48$

चरण 14

$x = \frac{3 π}{8}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{3 π}{8}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 15

$x = \frac{3 π}{8}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π}{8}$ से बदलें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{8}))$

चरण 15.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

चरण 15.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

चरण 15.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (\frac{3 π}{2})$

चरण 15.2.2

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- \csc (\frac{π}{2}))$

चरण 15.2.3

$\csc (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

चरण 15.2.4

$3 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \cdot - 1$

चरण 15.2.4.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 3$

चरण 15.2.5

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$y = - 3$

चरण 16

ये $f (x) = 3 \csc (4 x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{π}{8}, 3)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(\frac{3 π}{8}, - 3)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 17