कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

चरण 1.2.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \cos^{3} (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ है.

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 1.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

चरण 1.3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

चरण 1.3.4

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

चरण 1.3.5

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

चरण 1.4.2

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ में से $3 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ में से $3 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

चरण 1.4.2.2

$- 3 \sin (x)$ में से $3 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

चरण 1.4.2.3

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ में से $3 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

चरण 1.4.3

$\cos^{2} (x)$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

चरण 1.4.4

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

चरण 1.4.5

$\cos^{2} (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

चरण 1.4.6

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

चरण 1.4.7

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ को $- (1 - \cos^{2} (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

चरण 1.4.8

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

चरण 1.4.9

घातांक जोड़कर $\sin (x)$ को $\sin^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.9.1

$\sin^{2} (x)$ ले जाएं.

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

चरण 1.4.9.2

$\sin^{2} (x)$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.9.2.1

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

चरण 1.4.9.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

चरण 1.4.9.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

चरण 1.4.10

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \sin^{3} (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 \sin^{3} (x)$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ है.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

चरण 2.2.2

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

चरण 2.3

$3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

चरण 2.4

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

चरण 4

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

चरण 4.2.1.2

$\sin^{3} (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $- 3$ से विभाजित करें.

$\sin^{3} (x) = 0$

चरण 5

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

चरण 6

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 6.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$\sin (x) = 0$

चरण 7

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 8

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 9

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 10

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 11

समीकरण का हल $x = 0$ .

$x = 0, π$

चरण 12

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

चरण 13.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

चरण 13.3

$- 9$ को $0$ से गुणा करें.

$0 \cos (0)$

चरण 13.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$0 \cdot 1$

चरण 13.5

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$0$

चरण 14

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

चरण 14.2

पहले व्युत्पन्न $- 3 \sin^{3} (x)$ में अंतराल $(- \infty, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

चरण 14.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.1

$\sin (- 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

चरण 14.2.2.2

$- 0.90929742$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

चरण 14.2.2.3

$- 3$ को $- 0.75182694$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = 2.25548083$

चरण 14.2.2.4

अंतिम उत्तर $2.25548083$ है.

$2.25548083$

चरण 14.3

पहले व्युत्पन्न $- 3 \sin^{3} (x)$ में अंतराल $(0, π)$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

चरण 14.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.1

$\sin (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

चरण 14.3.2.2

$0.90929742$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

चरण 14.3.2.3

$- 3$ को $0.75182694$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 2.25548083$

चरण 14.3.2.4

अंतिम उत्तर $- 2.25548083$ है.

$- 2.25548083$

चरण 14.4

पहले व्युत्पन्न $- 3 \sin^{3} (x)$ में अंतराल $(π, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $6$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $6$ से बदलें.

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

चरण 14.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.2.1

$\sin (6)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

चरण 14.4.2.2

$- 0.27941549$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

चरण 14.4.2.3

$- 3$ को $- 0.02181481$ से गुणा करें.

$f' (6) = 0.06544443$

चरण 14.4.2.4

अंतिम उत्तर $0.06544443$ है.

$0.06544443$

चरण 14.5

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = 0$ के लगभग बदल दिया, तो $x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 14.6

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = π$ के लगभग बदल दिया, तो $x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 14.7

ये $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 15