कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

चरण 1.2.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

चरण 1.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$2 \cos (x)$ और $\sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

चरण 1.4.2.2

$\sin (x)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

चरण 1.4.2.3

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

चरण 2.2.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

चरण 2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

चरण 2.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

चरण 2.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

चरण 2.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

चरण 2.2.5

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

चरण 4

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

चरण 5

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ में से $2 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 2 \sin (x)$ में से $2 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

चरण 5.2

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ में से $2 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

चरण 6

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

चरण 7

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) = 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए $\sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 7.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 7.2.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 7.2.4

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 7.2.5

समीकरण का हल $x = 0$ .

$x = 0, π$

चरण 8

$\cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) - 1 = 0$

चरण 8.2

$x$ के लिए $\cos (x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\cos (x) = 1$

चरण 8.2.2

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (1)$

चरण 8.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$\arccos (1)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 8.2.4

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - 0$

चरण 8.2.5

$2 π$ में से $0$ घटाएं.

$x = 2 π$

चरण 8.2.6

समीकरण का हल $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

चरण 9

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, π, 2 π$

चरण 10

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

चरण 11.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

चरण 11.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 - 2 \cos (0)$

चरण 11.1.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 - 2 \cdot 1$

चरण 11.1.5

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 - 2$

चरण 11.2

$2$ में से $2$ घटाएं.

$0$

चरण 12

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

चरण 12.2

पहले व्युत्पन्न $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ में अंतराल $(- \infty, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

चरण 12.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

चरण 12.2.2.1.2

$\sin (- 4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

चरण 12.2.2.1.3

$\sin (- 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

चरण 12.2.2.1.4

$- 2$ को $- 0.90929742$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

चरण 12.2.2.2

$0.75680249$ और $1.81859485$ जोड़ें.

$f' (- 2) = 2.57539734$

चरण 12.2.2.3

अंतिम उत्तर $2.57539734$ है.

$2.57539734$

चरण 12.3

पहले व्युत्पन्न $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ में अंतराल $(0, π)$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

चरण 12.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

चरण 12.3.2.1.2

$\sin (4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

चरण 12.3.2.1.3

$\sin (2)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

चरण 12.3.2.1.4

$- 2$ को $0.90929742$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

चरण 12.3.2.2

$- 0.75680249$ में से $1.81859485$ घटाएं.

$f' (2) = - 2.57539734$

चरण 12.3.2.3

अंतिम उत्तर $- 2.57539734$ है.

$- 2.57539734$

चरण 12.4

पहले व्युत्पन्न $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ में अंतराल $(π, 2 π)$ से कोई भी संख्या, जैसे $5$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

चरण 12.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.2.1.1

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

चरण 12.4.2.1.2

$\sin (10)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

चरण 12.4.2.1.3

$\sin (5)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

चरण 12.4.2.1.4

$- 2$ को $- 0.95892427$ से गुणा करें.

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

चरण 12.4.2.2

$- 0.54402111$ और $1.91784854$ जोड़ें.

$f' (5) = 1.37382743$

चरण 12.4.2.3

अंतिम उत्तर $1.37382743$ है.

$1.37382743$

चरण 12.5

पहले व्युत्पन्न $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ में अंतराल $(2 π, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $9$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $9$ से बदलें.

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

चरण 12.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.1.1

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

चरण 12.5.2.1.2

$\sin (18)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

चरण 12.5.2.1.3

$\sin (9)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

चरण 12.5.2.1.4

$- 2$ को $0.41211848$ से गुणा करें.

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

चरण 12.5.2.2

$- 0.75098724$ में से $0.82423697$ घटाएं.

$f' (9) = - 1.57522421$

चरण 12.5.2.3

अंतिम उत्तर $- 1.57522421$ है.

$- 1.57522421$

चरण 12.6

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = 0$ के लगभग बदल दिया, तो $x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 12.7

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = π$ के लगभग बदल दिया, तो $x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 12.8

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = 2 π$ के लगभग बदल दिया, तो $x = 2 π$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 2 π$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 12.9

ये $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = 2 π$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = 2 π$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 13