कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ है.

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $24$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $24 x^{3}$ का व्युत्पन्न $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

चरण 1.2.3

$3$ को $24$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

चरण 1.3.2

$3$ और $4$ जोड़ें.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

चरण 1.3.3

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ है.

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

चरण 1.3.4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{7}$ और $g (x) = 24 - 3 x$ है.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

चरण 1.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $24 - 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ है.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

चरण 1.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $24$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $24$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

चरण 1.3.7

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

चरण 1.3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

चरण 1.3.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

चरण 1.3.10

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

चरण 1.3.11

$0$ में से $3$ घटाएं.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

चरण 1.3.12

$- 3$ को $x^{7}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

चरण 1.3.13

$7$ को $24 - 3 x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

चरण 1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

चरण 1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

चरण 1.4.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

चरण 1.4.4.2

$7$ को $24$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

चरण 1.4.4.3

$168$ को $- 3$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

चरण 1.4.4.4

$- 3$ को $7$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

चरण 1.4.4.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{6}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.5.1

$x^{6}$ ले जाएं.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

चरण 1.4.4.5.2

$x^{6}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

चरण 1.4.4.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

चरण 1.4.4.5.3

$6$ और $1$ जोड़ें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

चरण 1.4.4.6

$- 21$ को $- 3$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

चरण 1.4.4.7

$9 x^{7}$ और $63 x^{7}$ जोड़ें.

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

चरण 1.4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [72 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 504 x^{6}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (72 x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [72 x^{7}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $72$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $72 x^{7}$ का व्युत्पन्न $72 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ है.

$f'' (x) = 72 \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

चरण 2.2.2

$f'' (x) = 72 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

चरण 2.2.3

$7$ को $72$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 504 x^{6} + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 504 x^{6}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 504$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 504 x^{6}$ का व्युत्पन्न $- 504 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ है.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

चरण 2.3.3

$6$ को $- 504$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $72$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $72 x^{2}$ का व्युत्पन्न $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 (2 x)$

चरण 2.4.3

$2$ को $72$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 144 x$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

चरण 4.1.2

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

चरण 4.1.2.2

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

चरण 4.1.2.3

$3$ को $24$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

चरण 4.1.3.2

$3$ और $4$ जोड़ें.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

चरण 4.1.3.3

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

चरण 4.1.3.4

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

चरण 4.1.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $24 - 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ है.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

चरण 4.1.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $24$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $24$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

चरण 4.1.3.7

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

चरण 4.1.3.8

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

चरण 4.1.3.9

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

चरण 4.1.3.10

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

चरण 4.1.3.11

$0$ में से $3$ घटाएं.

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

चरण 4.1.3.12

$- 3$ को $x^{7}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

चरण 4.1.3.13

$7$ को $24 - 3 x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

चरण 4.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

चरण 4.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

चरण 4.1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

चरण 4.1.4.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.4.1

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

चरण 4.1.4.4.2

$7$ को $24$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

चरण 4.1.4.4.3

$168$ को $- 3$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

चरण 4.1.4.4.4

$- 3$ को $7$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

चरण 4.1.4.4.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{6}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.4.5.1

$x^{6}$ ले जाएं.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

चरण 4.1.4.4.5.2

$x^{6}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.4.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

चरण 4.1.4.4.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

चरण 4.1.4.4.5.3

$6$ और $1$ जोड़ें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

चरण 4.1.4.4.6

$- 21$ को $- 3$ से गुणा करें.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

चरण 4.1.4.4.7

$9 x^{7}$ और $63 x^{7}$ जोड़ें.

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

चरण 4.1.4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ है.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

चरण 5.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x \approx - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

चरण 8

$x = - 0.60223321$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$504 {(- 0.60223321)}^{6} - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 0.60223321$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$504 \cdot 0.04770767 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

चरण 9.1.2

$504$ को $0.04770767$ से गुणा करें.

$24.04466629 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

चरण 9.1.3

$- 0.60223321$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$24.04466629 - 3024 \cdot - 0.07921793 + 144 (- 0.60223321)$

चरण 9.1.4

$- 3024$ को $- 0.07921793$ से गुणा करें.

$24.04466629 + 239.55503398 + 144 (- 0.60223321)$

चरण 9.1.5

$144$ को $- 0.60223321$ से गुणा करें.

$24.04466629 + 239.55503398 - 86.72158264$

चरण 9.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$24.04466629$ और $239.55503398$ जोड़ें.

$263.59970027 - 86.72158264$

चरण 9.2.2

$263.59970027$ में से $86.72158264$ घटाएं.

$176.87811762$

चरण 10

$x = - 0.60223321$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - 0.60223321$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = - 0.60223321$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.60223321$ से बदलें.

$f (- 0.60223321) = 24 {(- 0.60223321)}^{3} - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

$- 0.60223321$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 0.60223321) = 24 \cdot - 0.21842085 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

चरण 11.2.1.2

$24$ को $- 0.21842085$ से गुणा करें.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

चरण 11.2.1.3

घातांक जोड़कर ${(- 0.60223321)}^{4}$ को ${(- 0.60223321)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.3.1

${(- 0.60223321)}^{3}$ ले जाएं.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 ({(- 0.60223321)}^{3} {(- 0.60223321)}^{4}) \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

चरण 11.2.1.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{3 + 4} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

चरण 11.2.1.3.3

$3$ और $4$ जोड़ें.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{7} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

चरण 11.2.1.4

$- 0.60223321$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 \cdot - 0.02873114 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

चरण 11.2.1.5

$- 3$ को $- 0.02873114$ से गुणा करें.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

चरण 11.2.1.6

$- 3$ को $- 0.60223321$ से गुणा करें.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 + 1.80669963)$

चरण 11.2.1.7

$24$ और $1.80669963$ जोड़ें.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot 25.80669963$

चरण 11.2.1.8

$0.08619343$ को $25.80669963$ से गुणा करें.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 2.22436801$

चरण 11.2.2

$- 5.24210059$ और $2.22436801$ जोड़ें.

$f (- 0.60223321) = - 3.01773257$

चरण 11.2.3

अंतिम उत्तर $- 3.01773257$ है.

$y = - 3.01773257$

चरण 12

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$504 {(0)}^{6} - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$504 \cdot 0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

चरण 13.1.2

$504$ को $0$ से गुणा करें.

$0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

चरण 13.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 - 3024 \cdot 0 + 144 (0)$

चरण 13.1.4

$- 3024$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0 + 144 (0)$

चरण 13.1.5

$144$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0 + 0$

चरण 13.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 + 0$

चरण 13.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0$

चरण 14

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 0.60223321) \cup (- 0.60223321, 0) \cup (0, 0.62944187) \cup (0.62944187, 6.9995834) \cup (6.9995834, \infty)$

चरण 14.2

पहले व्युत्पन्न $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ में अंतराल $(- \infty, - 0.60223321)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 3$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f' (- 3) = 72 {(- 3)}^{7} - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

चरण 14.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.1.1

$- 3$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = 72 \cdot - 2187 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

चरण 14.2.2.1.2

$72$ को $- 2187$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = - 157464 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

चरण 14.2.2.1.3

$- 3$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = - 157464 - 504 \cdot 729 + 72 {(- 3)}^{2}$

चरण 14.2.2.1.4

$- 504$ को $729$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 {(- 3)}^{2}$

चरण 14.2.2.1.5

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 \cdot 9$

चरण 14.2.2.1.6

$72$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 648$

चरण 14.2.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.2.1

$- 157464$ में से $367416$ घटाएं.

$f' (- 3) = - 524880 + 648$

चरण 14.2.2.2.2

$- 524880$ और $648$ जोड़ें.

$f' (- 3) = - 524232$

चरण 14.2.2.3

अंतिम उत्तर $- 524232$ है.

$- 524232$

चरण 14.3

पहले व्युत्पन्न $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ में अंतराल $(- 0.60223321, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 0.3$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.3$ से बदलें.

$f' (- 0.3) = 72 {(- 0.3)}^{7} - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

चरण 14.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.1.1

$- 0.3$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.3) = 72 \cdot - 0.0002187 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

चरण 14.3.2.1.2

$72$ को $- 0.0002187$ से गुणा करें.

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

चरण 14.3.2.1.3

$- 0.3$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 \cdot 0.000729 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

चरण 14.3.2.1.4

$- 504$ को $0.000729$ से गुणा करें.

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

चरण 14.3.2.1.5

$- 0.3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 \cdot 0.09$

चरण 14.3.2.1.6

$72$ को $0.09$ से गुणा करें.

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 6.48$

चरण 14.3.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.2.1

$- 0.0157464$ में से $0.367416$ घटाएं.

$f' (- 0.3) = - 0.3831624 + 6.48$

चरण 14.3.2.2.2

$- 0.3831624$ और $6.48$ जोड़ें.

$f' (- 0.3) = 6.0968376$

चरण 14.3.2.3

अंतिम उत्तर $6.0968376$ है.

$6.0968376$

चरण 14.4

पहले व्युत्पन्न $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ में अंतराल $(0, 0.62944187)$ से कोई भी संख्या, जैसे $0.31$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.31$ से बदलें.

$f' (0.31) = 72 {(0.31)}^{7} - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

चरण 14.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.2.1.1

$0.31$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (0.31) = 72 \cdot 0.00027512 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

चरण 14.4.2.1.2

$72$ को $0.00027512$ से गुणा करें.

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

चरण 14.4.2.1.3

$0.31$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 \cdot 0.0008875 + 72 {(0.31)}^{2}$

चरण 14.4.2.1.4

$- 504$ को $0.0008875$ से गुणा करें.

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 {(0.31)}^{2}$

चरण 14.4.2.1.5

$0.31$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 \cdot 0.0961$

चरण 14.4.2.1.6

$72$ को $0.0961$ से गुणा करें.

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 6.9192$

चरण 14.4.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.2.2.1

$0.01980908$ में से $0.44730185$ घटाएं.

$f' (0.31) = - 0.42749277 + 6.9192$

चरण 14.4.2.2.2

$- 0.42749277$ और $6.9192$ जोड़ें.

$f' (0.31) = 6.49170722$

चरण 14.4.2.3

अंतिम उत्तर $6.49170722$ है.

$6.49170722$

चरण 14.5

पहले व्युत्पन्न $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ में अंतराल $(0.62944187, 6.9995834)$ से कोई भी संख्या, जैसे $4$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f' (4) = 72 {(4)}^{7} - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

चरण 14.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.2.1.1

$4$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = 72 \cdot 16384 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

चरण 14.5.2.1.2

$72$ को $16384$ से गुणा करें.

$f' (4) = 1179648 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

चरण 14.5.2.1.3

$4$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = 1179648 - 504 \cdot 4096 + 72 {(4)}^{2}$

चरण 14.5.2.1.4

$- 504$ को $4096$ से गुणा करें.

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 {(4)}^{2}$

चरण 14.5.2.1.5

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 \cdot 16$

चरण 14.5.2.1.6

$72$ को $16$ से गुणा करें.

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 1152$

चरण 14.5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.2.2.1

$1179648$ में से $2064384$ घटाएं.

$f' (4) = - 884736 + 1152$

चरण 14.5.2.2.2

$- 884736$ और $1152$ जोड़ें.

$f' (4) = - 883584$

चरण 14.5.2.3

अंतिम उत्तर $- 883584$ है.

$- 883584$

चरण 14.6

पहले व्युत्पन्न $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ में अंतराल $(6.9995834, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $9$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.1

व्यंजक में चर $x$ को $9$ से बदलें.

$f' (9) = 72 {(9)}^{7} - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

चरण 14.6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.2.1.1

$9$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (9) = 72 \cdot 4782969 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

चरण 14.6.2.1.2

$72$ को $4782969$ से गुणा करें.

$f' (9) = 344373768 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

चरण 14.6.2.1.3

$9$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (9) = 344373768 - 504 \cdot 531441 + 72 {(9)}^{2}$

चरण 14.6.2.1.4

$- 504$ को $531441$ से गुणा करें.

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 {(9)}^{2}$

चरण 14.6.2.1.5

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 \cdot 81$

चरण 14.6.2.1.6

$72$ को $81$ से गुणा करें.

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 5832$

चरण 14.6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.2.2.1

$344373768$ में से $267846264$ घटाएं.

$f' (9) = 76527504 + 5832$

चरण 14.6.2.2.2

$76527504$ और $5832$ जोड़ें.

$f' (9) = 76533336$

चरण 14.6.2.3

अंतिम उत्तर $76533336$ है.

$76533336$

चरण 14.7

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = - 0.60223321$ के लगभग बदल दिया, तो $x = - 0.60223321$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = - 0.60223321$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 14.8

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = 0$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 14.9

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = 0.62944187$ के लगभग बदल दिया, तो $x = 0.62944187$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 0.62944187$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 14.10

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = 6.9995834$ के लगभग बदल दिया, तो $x = 6.9995834$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = 6.9995834$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 14.11

ये $f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$x = - 0.60223321$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = 0.62944187$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 6.9995834$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = - 0.60223321$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = 0.62944187$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$x = 6.9995834$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 15