कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 x - \sin (2 x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

चरण 1.2.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$2 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$2 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.3.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$2 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$2 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 1.3.4

$2 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 1.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 - (\cos (2 x) \cdot 2)$

चरण 1.3.6

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 - (2 \cdot \cos (2 x))$

चरण 1.3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 - 2 \cos (2 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 - 2 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

चरण 2.2.4

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 2.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

चरण 2.2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - 2 (- 2 \sin (2 x))$

चरण 2.2.7

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (2 x)$

चरण 2.3

$0$ और $4 \sin (2 x)$ जोड़ें.

$f'' (x) = 4 \sin (2 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$2 - 2 \cos (2 x) = 0$

चरण 4

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- 2 \cos (2 x) = - 2$

चरण 5

$- 2 \cos (2 x) = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 2 \cos (2 x) = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

चरण 5.2.1.2

$\cos (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) = \frac{- 2}{- 2}$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 2$ को $- 2$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) = 1$

चरण 6

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x = \arccos (1)$

चरण 7

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\arccos (1)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 x = 0$

चरण 8

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 8.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{2}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 9

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 π - 0$

चरण 10

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 x = 2 π + 0$

चरण 10.1.2

$2 π$ और $0$ जोड़ें.

$2 x = 2 π$

चरण 10.2

$2 x = 2 π$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$2 x = 2 π$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

चरण 10.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

चरण 10.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{2 π}{2}$

चरण 10.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2 π}{2}$

चरण 10.2.3.1.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = π$

चरण 11

समीकरण का हल $2 x = 0$ .

$x = 0, π$

चरण 12

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$4 \sin (2 (0))$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$4 \sin (0)$

चरण 13.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$4 \cdot 0$

चरण 13.3

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$0$

चरण 14

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

चरण 14.2

पहले व्युत्पन्न $2 - 2 \cos (2 x)$ में अंतराल $(- \infty, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (2 (- 2))$

चरण 14.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.1.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (- 4)$

चरण 14.2.2.1.2

$\cos (- 4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (- 2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

चरण 14.2.2.1.3

$- 2$ को $- 0.65364362$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = 2 + 1.30728724$

चरण 14.2.2.2

$2$ और $1.30728724$ जोड़ें.

$f' (- 2) = 3.30728724$

चरण 14.2.2.3

अंतिम उत्तर $3.30728724$ है.

$3.30728724$

चरण 14.3

पहले व्युत्पन्न $2 - 2 \cos (2 x)$ में अंतराल $(0, π)$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = 2 - 2 \cos (2 (2))$

चरण 14.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.1.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = 2 - 2 \cos (4)$

चरण 14.3.2.1.2

$\cos (4)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

चरण 14.3.2.1.3

$- 2$ को $- 0.65364362$ से गुणा करें.

$f' (2) = 2 + 1.30728724$

चरण 14.3.2.2

$2$ और $1.30728724$ जोड़ें.

$f' (2) = 3.30728724$

चरण 14.3.2.3

अंतिम उत्तर $3.30728724$ है.

$3.30728724$

चरण 14.4

पहले व्युत्पन्न $2 - 2 \cos (2 x)$ में अंतराल $(π, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $6$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $6$ से बदलें.

$f' (6) = 2 - 2 \cos (2 (6))$

चरण 14.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.2.1.1

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$f' (6) = 2 - 2 \cos (12)$

चरण 14.4.2.1.2

$\cos (12)$ का मान ज्ञात करें.

$f' (6) = 2 - 2 \cdot 0.84385395$

चरण 14.4.2.1.3

$- 2$ को $0.84385395$ से गुणा करें.

$f' (6) = 2 - 1.68770791$

चरण 14.4.2.2

$2$ में से $1.68770791$ घटाएं.

$f' (6) = 0.31229208$

चरण 14.4.2.3

अंतिम उत्तर $0.31229208$ है.

$0.31229208$

चरण 14.5

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने $x = 0$ के आसपास के संकेतों को नहीं बदला, यह स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है.

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं

चरण 14.6

$f (x) = 2 x - \sin (2 x)$ के लिए कोई स्थानीय अधिकतम या निम्नतम नहीं मिला.

कोई स्थानीय अधिकतम या निम्नतम नहीं है

चरण 15