कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

चरण 1

$\sin^{2} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

चरण 2

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (x)$ को $1 - \cos^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 3.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 3.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

चरण 3.5

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{upper} = 0$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

चरण 5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

चरण 7

$- u]_{1}^{0}$ और $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ को मिलाएं.

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$0$ पर और $1$ पर $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ का मान ज्ञात करें.

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 8.2.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 8.2.3

$\frac{1}{3}$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 8.2.4

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 8.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 8.2.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

चरण 8.2.7

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

चरण 8.2.8

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

चरण 8.2.9

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

चरण 8.2.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

चरण 8.2.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.11.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

चरण 8.2.11.2

$- 3$ और $1$ जोड़ें.

$0 - \frac{- 2}{3}$

चरण 8.2.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$0 - - \frac{2}{3}$

चरण 8.2.13

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

चरण 8.2.14

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + \frac{2}{3}$

चरण 8.2.15

$0$ और $\frac{2}{3}$ जोड़ें.

$\frac{2}{3}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2}{3}$

दशमलव रूप:

$0.\overline{6}$