कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} - 16}{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 1

जैसे ही $x$ $8$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 2

जैसे-जैसे $x$ $8$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 3

$4$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 4

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 5

$16$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $8$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 6

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 7

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 8

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 9

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $4$ को $x^{4}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 10

$4$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 8} x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 11

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

चरण 12

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 16}}$

चरण 13

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

चरण 14

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $4$ को $x^{4}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

चरण 15

$16$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $8$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

चरण 16

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$x$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

चरण 16.2

$x$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

चरण 16.3

$x$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

चरण 16.4

$x$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.1

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 \cdot 64 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.1.2

$4$ को $64$ से गुणा करें.

$\frac{256 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.1.3

$- 1$ को $16$ से गुणा करें.

$\frac{256 - 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.1.4

$256$ में से $16$ घटाएं.

$\frac{240}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

$8$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.2.2

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 64} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.2.3

$4$ को $64$ से गुणा करें.

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 256} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.2.4

$4096$ और $256$ जोड़ें.

$\frac{240}{\sqrt{4352} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.2.5

$4352$ को $16^{2} \cdot 17$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.5.1

$4352$ में से $256$ का गुणनखंड करें.

$\frac{240}{\sqrt{256 (17)} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.2.5.2

$256$ को $16^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{240}{\sqrt{16^{2} \cdot 17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.2.6

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

चरण 17.2.7

$8$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4096 + 16}}$

चरण 17.2.8

$4096$ और $16$ जोड़ें.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4112}}$

चरण 17.2.9

$4112$ को $4^{2} \cdot 257$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.9.1

$4112$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{16 (257)}}$

चरण 17.2.9.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} \cdot 257}}$

चरण 17.2.10

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - (4 \sqrt{257})}$

चरण 17.2.11

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

चरण 17.3

$240$ और $16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.3.1

$240$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (60)}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

चरण 17.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.3.2.1

$16 \sqrt{17}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) - 4 \sqrt{257}}$

चरण 17.3.2.2

$- 4 \sqrt{257}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})}$

चरण 17.3.2.3

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

चरण 17.3.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 60}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

चरण 17.3.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$

चरण 17.4

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ को $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ से गुणा करें.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}} \cdot \frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$

चरण 17.5

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ को $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ से गुणा करें.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{(4 \sqrt{17} - \sqrt{257}) (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}$

चरण 17.6

FOIL विधि का उपयोग करके भाजक का प्रसार करें.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{16 {\sqrt{17}}^{2} + 4 \sqrt{4369} - 4 \sqrt{4369} - {\sqrt{257}}^{2}}$

चरण 17.7

सरल करें.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{15}$

चरण 17.8

$60$ और $15$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.8.1

$60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ में से $15$ का गुणनखंड करें.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15}$

चरण 17.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.8.2.1

$15$ में से $15$ का गुणनखंड करें.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 (1)}$

चरण 17.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 \cdot 1}$

चरण 17.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{1}$

चरण 17.8.2.4

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$

चरण 17.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 \sqrt{257}$

चरण 17.10

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

चरण 18

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

दशमलव रूप:

$130.09456817 \dots$