कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - \ln ({(x)}^{x})$

चरण 1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

जैसे-जैसे $x$ $8$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

चरण 1.2

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

चरण 2

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${(x + 1)}^{x}$ को $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

चरण 2.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(x + 1)}^{x})$ का प्रसार करें.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

चरण 3.2

जैसे ही $x$ $8$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

चरण 3.3

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

चरण 3.4

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

चरण 3.5

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $8$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

चरण 3.6

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{x})$

चरण 4

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

${(x)}^{x}$ को $e^{\ln ({(x)}^{x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{x})})$

चरण 4.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(x)}^{x})$ का प्रसार करें.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x)})$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x)})$

चरण 5.2

जैसे ही $x$ $8$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

चरण 5.3

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

चरण 6

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

चरण 6.2

$x$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

चरण 6.3

$x$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

चरण 6.4

$x$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (8)})$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}}{e^{8 \cdot \ln (8)}})$

चरण 7.2

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $e^{8 \cdot \ln (8)}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} e^{- 8 \cdot \ln (8)})$

चरण 7.3

घातांक जोड़कर $e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}$ को $e^{- 8 \cdot \ln (8)}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)})$

चरण 7.3.2

$8$ और $1$ जोड़ें.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (9) - 8 \cdot \ln (8)})$

चरण 7.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1

$8$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $8 \ln (9)$ को सरल करें.

$\ln (e^{\ln (9^{8}) - 8 \cdot \ln (8)})$

चरण 7.3.3.2

$9$ को $8$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (e^{\ln (43046721) - 8 \cdot \ln (8)})$

चरण 7.3.3.3

$8$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 8 \ln (8)$ को सरल करें.

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (8^{8})})$

चरण 7.3.3.4

$8$ को $8$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (16777216)})$

चरण 7.3.4

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (e^{\ln (\frac{43046721}{16777216})})$

चरण 7.4

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \ln (e)$

चरण 7.5

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \cdot 1$

चरण 7.6

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

दशमलव रूप:

$0.94226428 \dots$