कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}}{h}$

चरण 1

पदों को मिलाएं.

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चरण 1.1

$\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}}{h}$

चरण 1.2

$- \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

चरण 1.3

प्रत्येक व्यंजक को $3 {(x + h)}^{2} x^{3}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

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चरण 1.3.1

$\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}}$ को $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 {(x + h)}^{2} x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

चरण 1.3.2

$\frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}$ को $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 {(x + h)}^{2} x^{3}} - \frac{(x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

चरण 1.3.3

$3 {(x + h)}^{2} x^{3}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}} - \frac{(x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

चरण 1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

चरण 2

सीमा तर्क को सरल करें.

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चरण 2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 2.2

$\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}$ को $\frac{1}{h}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2} h}$

चरण 3

Since the numerator is negative and the denominator $3 x^{3} {(x + h)}^{2} h$ approaches zero and is less than zero for $x$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$