कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{17 x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

चरण 1

$17$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$17 lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

चरण 2

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$17 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

चरण 2.1.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$17 \frac{0}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$17 \frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.3

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.4

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.5

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.6

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.7

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.7.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.7.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.8.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$17 \frac{0}{\ln ({(0 - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.8.1.2

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 0 + 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.8.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 1)}^{3})}$

चरण 2.1.3.8.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$17 \frac{0}{\ln (1^{3})}$

चरण 2.1.3.8.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$17 \frac{0}{\ln (1)}$

चरण 2.1.3.8.5

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$17 (\frac{0}{0})$

चरण 2.1.3.8.6

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$17 (\frac{0}{0})$

चरण 2.1.3.9

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$17 (\frac{0}{0})$

चरण 2.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$17 (\frac{0}{0})$

चरण 2.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

चरण 2.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

चरण 2.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ के रूप में सेट करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

चरण 2.3.3.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

चरण 2.3.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ से बदलें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

चरण 2.3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} - 2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

चरण 2.3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

चरण 2.3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 2 x + 1$ से बदलें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

चरण 2.3.5

$3$ और $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

चरण 2.3.6

${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ और $\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

चरण 2.3.7

$3$ को ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

चरण 2.3.8

${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ और ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

$3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ में से ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

चरण 2.3.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.2.1

${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ में से ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

चरण 2.3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

चरण 2.3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

चरण 2.3.9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

चरण 2.3.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

चरण 2.3.11

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

चरण 2.3.12

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

चरण 2.3.13

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])}$

चरण 2.3.14

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)}$

चरण 2.3.15

$2 x - 2$ और $0$ जोड़ें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)}$

चरण 2.3.16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.16.1

$\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1}}$

चरण 2.3.16.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.16.2.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}}$

चरण 2.3.16.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

चरण 2.3.16.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}}$

चरण 2.3.16.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 1$ है.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}}$

चरण 2.3.16.3

$2 x - 2$ को $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 x - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

चरण 2.3.16.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.16.4.1

$2 x - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.16.4.1.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

चरण 2.3.16.4.1.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

चरण 2.3.16.4.1.3

$2 (x) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2 (x - 1) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

चरण 2.3.16.4.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}}$

चरण 2.3.16.5

$x - 1$ और ${(x - 1)}^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.16.5.1

$6 (x - 1)$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}}$

चरण 2.3.16.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.16.5.2.1

${(x - 1)}^{2}$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

चरण 2.3.16.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

चरण 2.3.16.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6}{x - 1}}$

चरण 2.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$17 lim_{x \to 0} 1 \frac{x - 1}{6}$

चरण 2.5

$\frac{x - 1}{6}$ को $1$ से गुणा करें.

$17 lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{6}$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{6}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$17 (\frac{1}{6}) lim_{x \to 0} x - 1$

चरण 3.2

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)$

चरण 3.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)$

चरण 4

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$17 (\frac{1}{6}) (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$17$ और $\frac{1}{6}$ को मिलाएं.

$\frac{17}{6} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 5.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{17}{6} (0 - 1)$

चरण 5.3

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{17}{6} \cdot - 1$

चरण 5.4

$\frac{17}{6} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\frac{17}{6}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{17 \cdot - 1}{6}$

चरण 5.4.2

$17$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 17}{6}$

चरण 5.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{17}{6}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{17}{6}$

दशमलव रूप:

$- 2.8\overline{3}$