कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

चरण 1

समाकलन को $0$ पर विभाजित करें और लिमिट के योग के रूप में लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$e^{- x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x^{2}$ से बदलें.

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

चरण 2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

चरण 2.1.4.2

गुणनखंडों को $- 2 e^{- x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u_{2} = e^{- x^{2}}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

चरण 2.3

$x$ के लिए $u_{2} = e^{- x^{2}}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = e^{- 0^{2}}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{upper} = e^{- 0}$

चरण 2.4.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{upper} = e^{0}$

चरण 2.4.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$u_{upper} = 1$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

$u_{upper} = 1$

चरण 2.6

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

चरण 3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

चरण 4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{e^{- t^{2}}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$1$ पर और $e^{- t^{2}}$ पर $- \frac{1}{2} u_{2}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

चरण 5.2.2

$\frac{1}{2}$ और $e^{- t^{2}}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

चरण 6

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$e^{- x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 6.1.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 6.1.2.2

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 6.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x^{2}$ से बदलें.

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 6.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 6.1.3.2

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

चरण 6.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

चरण 6.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

चरण 6.1.4.2

गुणनखंडों को $- 2 e^{- x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

चरण 6.2

$x$ के लिए $u_{2} = e^{- x^{2}}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = e^{- 0}$

चरण 6.3.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = e^{0}$

चरण 6.3.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$u_{lower} = 1$

चरण 6.4

$x$ के लिए $u_{2} = e^{- x^{2}}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

चरण 6.5

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

चरण 6.6

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{2}}}$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$e^{- t^{2}}$ पर और $1$ पर $- \frac{1}{2} u_{2}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$e^{- t^{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 9.2.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 10

सीमाओं का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

एक सामान्य भाजक का उपयोग करके भिन्नों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 10.1.2

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 10.1.3

$e^{- t^{2}}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 10.1.4

$- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1 - e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 10.1.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 10.2

एक सामान्य भाजक का उपयोग करके भिन्नों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{2}} + 1}{2}$

चरण 10.2.2

$- e^{- t^{2}}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) + 1}{2}$

चरण 10.2.3

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)}{2}$

चरण 10.2.4

$- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

चरण 10.2.5

$- (e^{- t^{2}} - 1)$ को $- 1 (e^{- t^{2}} - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

चरण 10.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

चरण 10.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

चरण 10.3.2

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

चरण 10.3.3

जैसे-जैसे $t$ $- \infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

चरण 10.3.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

चरण 10.4

चूँकि घातांक $- t^{2}$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{- t^{2}}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

चरण 10.5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

चरण 10.5.2

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - 1$

चरण 10.5.3

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

चरण 10.6

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

चरण 10.7

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.7.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 10.7.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.7.2.1.1

$1$ में से $0$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 10.7.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 10.7.2.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1)$

चरण 10.7.2.1.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 10.7.2.1.5

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.7.2.1.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

चरण 10.7.2.1.5.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 10.7.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 + 1}{2}$

चरण 10.7.2.3

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{0}{2}$

चरण 10.7.2.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$0$