कैलकुलस उदाहरण

$\frac{2 t}{2 + \sqrt{t}}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

$\sqrt{t}$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 t}{2 + t^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{2 t}{2 + t^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 + t^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 + t^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = 2 + t^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 \frac{(2 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [2 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \frac{(2 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [2 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.2

$2 + t^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [2 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $2 + t^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ है.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.4

चूंकि $t$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.5

$0$ और $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ जोड़ें.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और $t^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 10

$\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $t$ को मिलाएं.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 11

घातांक जोड़कर $t^{- \frac{1}{2}}$ को $t$ से गुणा करें.

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चरण 11.1

$t^{- \frac{1}{2}}$ को $t$ से गुणा करें.

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चरण 11.1.1

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 11.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 11.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 11.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 11.4

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 12

$t^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 \frac{2 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 13

$t^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{2 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{2 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 15

$2$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \frac{2 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 16

$2 t^{\frac{1}{2}}$ में से $t^{\frac{1}{2}}$ घटाएं.

$2 \frac{2 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 17

$\frac{2 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{2 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

चरण 18

जोड़ना.

$2 \frac{2 (2 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 19

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{2 \cdot 2 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 20

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 20.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{2 \cdot 2 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 20.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{2 \cdot 2 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 21

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 22

$2$ और $\frac{4 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (4 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 23

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (4 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 24

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 + t^{\frac{1}{2}}}{{(2 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 25

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + 4}{{(t^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$