कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (x)}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 1.1.2

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $\arctan (x)$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 1.1.2.2

$\arctan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

चरण 1.1.3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{\sin (0)}$

चरण 1.1.3.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 1.3.2

$x$ के संबंध में $\arctan (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + x^{2}}$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 1.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 1.3.4

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (x)}$

चरण 1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

चरण 1.5

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ को $\frac{1}{\cos (x)}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) \cos (x)}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) \cos (x)}$

चरण 2.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) \cos (x)}$

चरण 2.3

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 2.4

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 2.5

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 2.6

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 2.7

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

चरण 3

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

चरण 3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (0)}$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अलग-अलग भिन्न

$\frac{1}{0^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

चरण 4.2

$\frac{1}{\cos (0)}$ को $\sec (0)$ में बदलें.

$\frac{1}{0^{2} + 1} \sec (0)$

चरण 4.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{0 + 1} \sec (0)$

चरण 4.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{1} \sec (0)$

चरण 4.4

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{1} \sec (0)$

चरण 4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \sec (0)$

चरण 4.5

$\sec (0)$ को $1$ से गुणा करें.

$\sec (0)$

चरण 4.6

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$1$