कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\sin (3 x)}{1 - 2 \cos (x)}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

चरण 1.1.2.1.2

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

चरण 1.1.2.2

$x$ के लिए $\frac{π}{3}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (3 \frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

चरण 1.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sin (3 \frac{π}{3})}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

चरण 1.1.2.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

चरण 1.1.2.3.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

चरण 1.1.2.3.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - 2 \cos (x)}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

जैसे-जैसे $x$ $\frac{π}{3}$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}$

चरण 1.1.3.1.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\frac{π}{3}$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x)}$

चरण 1.1.3.1.3

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{0}{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)}$

चरण 1.1.3.1.4

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{0}{1 - 2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

चरण 1.1.3.2

$x$ के लिए $\frac{π}{3}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{1 - 2 \cos (\frac{π}{3})}$

चरण 1.1.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$\frac{0}{1 - 2 (\frac{1}{2})}$

चरण 1.1.3.3.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{0}{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}$

चरण 1.1.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{0}{1 - 1}$

चरण 1.1.3.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\sin (3 x)}{1 - 2 \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3.6

$3$ को $\cos (3 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - 2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]}$

चरण 1.3.9

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.9.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

चरण 1.3.9.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 - 2 (- \sin (x))}$

चरण 1.3.9.3

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{0 + 2 \sin (x)}$

चरण 1.3.10

$0$ और $2 \sin (x)$ जोड़ें.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{3 \cos (3 x)}{2 \sin (x)}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{3}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (3 x)}{\sin (x)}$

चरण 2.2

जैसे ही $x$ $\frac{π}{3}$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

चरण 2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

चरण 2.4

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

चरण 2.5

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

चरण 3

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $\frac{π}{3}$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ के लिए $\frac{π}{3}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

चरण 3.2

$x$ के लिए $\frac{π}{3}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$ को फिर से लिखें.

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \frac{1}{\sin (\frac{π}{3})})$

चरण 4.2

$\cos (3 \frac{π}{3})$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{3}{2} (\frac{\cos (3 \frac{π}{3})}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{π}{3})})$

चरण 4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$\cos (3 \frac{π}{3})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \frac{1}{\sin (\frac{π}{3})})$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{3})}$ को $\csc (\frac{π}{3})$ में बदलें.

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \csc (\frac{π}{3}))$

चरण 4.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{2} (\cos (3 \frac{π}{3}) \csc (\frac{π}{3}))$

चरण 4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{2} (\cos (π) \csc (\frac{π}{3}))$

चरण 4.5

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$\frac{3}{2} (- \cos (0) \csc (\frac{π}{3}))$

चरण 4.6

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{3}{2} (- 1 \cdot 1 \csc (\frac{π}{3}))$

चरण 4.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2} (- \csc (\frac{π}{3}))$

चरण 4.8

$\csc (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है.

$\frac{3}{2} (- \frac{2}{\sqrt{3}})$

चरण 4.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

$- \frac{2}{\sqrt{3}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

चरण 4.9.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{\sqrt{3}}$

चरण 4.9.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{3}}$

चरण 4.9.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

चरण 4.10

$3$ और $\frac{- 1}{\sqrt{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{3 \cdot - 1}{\sqrt{3}}$

चरण 4.11

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3}{\sqrt{3}}$

चरण 4.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3}{\sqrt{3}}$

चरण 4.13

$\frac{3}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$- (\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

चरण 4.14

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

$\frac{3}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 4.14.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 4.14.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 4.14.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 4.14.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 4.14.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 4.14.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 4.14.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 4.14.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 4.14.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 4.14.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

चरण 4.15

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.15.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

चरण 4.15.2

$\sqrt{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \sqrt{3}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \sqrt{3}$

दशमलव रूप:

$- 1.73205080 \dots$