कैलकुलस उदाहरण

$lim_{θ \to 0} \frac{θ}{\sin (θ)}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{θ \to 0} θ}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.2

$θ$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

चरण 1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

चरण 1.3.2

$θ$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{\sin (0)}$

चरण 1.3.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{θ \to 0} \frac{θ}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

चरण 3.3

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\cos (θ)$ है.

$lim_{θ \to 0} \frac{1}{\cos (θ)}$

चरण 4

$\frac{1}{\cos (θ)}$ को $\sec (θ)$ में बदलें.

$lim_{θ \to 0} \sec (θ)$

चरण 5

सीमा को त्रिकोणमितीय फलन के अंदर ले जाएँ क्योंकि कोटिज्या सतत है.

$\sec (lim_{θ \to 0} θ)$

चरण 6

$θ$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $θ$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\sec (0)$

चरण 7

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$1$