कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 x^{2}$

चरण 1

सीमा का मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1

जैसे-जैसे $x$ $π$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + lim_{x \to π} 3 x^{2}$

चरण 1.2

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 lim_{x \to π} x^{2}$

चरण 1.3

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 {(lim_{x \to π} x)}^{2}$

चरण 2

$x$ के लिए $π$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) + 3 π^{2}$

चरण 3

बाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$

चरण 4

फलन ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ बाईं ओर से $π$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) \\ 3.04159265 & - 0.00839071 \\ 3.13159265 & 0.00008623 \\ 3.14059265 & - 0.00000011 \end{array}$

चरण 5

$x$ का मान $π$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ का लिमिट $x$ के रूप में $π$ के बाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0$ है.

$0$

चरण 6

दाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$

चरण 7

फलन ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ दाईं ओर से $π$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & {(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π}) \\ 3.24159265 & - 0.00839071 \\ 3.15159265 & 0.00008623 \\ 3.14259265 & - 0.00000092 \end{array}$

चरण 8

$x$ का मान $π$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, ${(x - π)}^{2} \cos (\frac{1}{x - π})$ का लिमिट $x$ के रूप में $π$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0$ है.

$0 + 3 π^{2}$

चरण 9

$0$ और $3 π^{2}$ जोड़ें.

$3 π^{2}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$3 π^{2}$

दशमलव रूप:

$29.60881320 \dots$