कैलकुलस उदाहरण

$lim_{h \to 0} \frac{(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)}{h}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{h \to 0} (6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2

$h$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{6 (x + 0) + 3 - (6 x + 3)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{6 x + 3 - (6 x + 3)}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 1.1.2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{6 x + 3 - (6 x) - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.3.2

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{6 x + 3 - 6 x - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.3.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 x + 3 - 6 x - 3}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.4

$6 x + 3 - 6 x - 3$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

$6 x$ में से $6 x$ घटाएं.

$\frac{0 + 3 - 3}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.4.2

$0$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{3 - 3}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.2.4.3

$3$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

चरण 1.1.3

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{h \to 0} \frac{(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $h$ के संबंध में $(6 (x + h) + 3) - (6 x + 3)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d h} [6 (x + h)] + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [6 (x + h)] + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3

$\frac{d}{d h} [6 (x + h)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

चूंकि $6$ , $h$ के संबंध में स्थिर है, $h$ के संबंध में $6 (x + h)$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d h} [x + h]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{6 \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.2

योग नियम के अनुसार, $h$ के संबंध में $x + h$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{6 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.3

चूंकि $h$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{6 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ $n h^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{6 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$lim_{h \to 0} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.3.6

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{h \to 0} \frac{6 + \frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.4

चूंकि $h$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{6 + 0 + \frac{d}{d h} [- (6 x + 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.5

चूंकि $h$ के संबंध में $- (6 x + 3)$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $- (6 x + 3)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{h \to 0} \frac{6 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.6

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

$6$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{h \to 0} \frac{6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.6.2

$6$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{h \to 0} \frac{6}{\frac{d}{d h} [h]}$

चरण 1.3.7

$lim_{h \to 0} \frac{6}{1}$

चरण 1.4

$6$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} 6$

चरण 2

$6$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$6$