कैलकुलस उदाहरण

$lim_{n \to 1000000} {(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$

चरण 1

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}}$ को $e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{n \to 1000000} e^{\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})}$

चरण 1.2

$\frac{1}{2 n + 1}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(n^{2} + n)}^{\frac{1}{2 n + 1}})$ का प्रसार करें.

$lim_{n \to 1000000} e^{\frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \ln (n^{2} + n)}$

चरण 2.2

जैसे ही $n$ $1000000$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{lim_{n \to 1000000} \frac{1}{2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

चरण 2.3

जैसे ही $n$ $1000000$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{\frac{lim_{n \to 1000000} 1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

चरण 2.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $n$ के $1000000$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

चरण 2.5

जैसे-जैसे $n$ $1000000$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 1000000} 2 n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

चरण 2.6

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $n$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + lim_{n \to 1000000} 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

चरण 2.7

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $n$ के $1000000$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot lim_{n \to 1000000} \ln (n^{2} + n)}$

चरण 2.8

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + n)}$

चरण 2.9

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln (lim_{n \to 1000000} n^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

चरण 2.10

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $n^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$e^{\frac{1}{2 lim_{n \to 1000000} n + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

चरण 3

$n$ की सभी घटनाओं के लिए $1000000$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$n$ के लिए $1000000$ को प्रतिस्थापित करके $n$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln ({(lim_{n \to 1000000} n)}^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

चरण 3.2

$n$ के लिए $1000000$ को प्रतिस्थापित करके $n$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + lim_{n \to 1000000} n)}$

चरण 3.3

$n$ के लिए $1000000$ को प्रतिस्थापित करके $n$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{\frac{1}{2 \cdot 1000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2$ को $1000000$ से गुणा करें.

$e^{\frac{1}{2000000 + 1} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

चरण 4.1.2

$2000000$ और $1$ जोड़ें.

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000^{2} + 1000000)}$

चरण 4.2

$1000000$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000000000000 + 1000000)}$

चरण 4.3

$1000000000000$ और $1000000$ जोड़ें.

$e^{\frac{1}{2000001} \cdot \ln (1000001000000)}$

चरण 4.4

$\frac{1}{2000001}$ और $\ln (1000001000000)$ को मिलाएं.

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$e^{\frac{\ln (1000001000000)}{2000001}}$

दशमलव रूप:

$1.00001381 \dots$